布尔的符号元素和符号法则 布尔逻辑之三
布尔的符号元素和符号法则 布尔逻辑之三
人类的心灵法则用数学和符号来探讨，德国的莱布尼兹开了个头。他的两个片断所作的普遍语言尝试，是研究思维和符号法则的先驱，自然也是现代逻辑的先驱，也是现代计算机科学的先躯。更有趣的一点，我一点也没有料到，他还被看作是互联网的先驱。以致当代法国哲学家米歇尔.塞尔，在接受《哲学杂志》采访时说：“互联网，它其实来自不谈论上帝的莱布尼兹。”可惜，莱布尼兹以后好长一段时间，欧洲人几乎中断了这项由莱布尼兹开创的心灵和符号法则研究。
但过了一百多年，英国人布尔似乎是不自觉地把这项研究接了过来。从布尔的那个年代起，英国人在数学领域开始跟上欧洲大陆国家的步伐。而且，还在与数学相关的几个领域，开始有了几个很了不起的创新。这些创新与英国人牛顿在16世纪发现万有引力相比，同样是开启科学新纪元的人类大事。
我们今天的现代生活，不管你喜欢还是不喜欢，都和欧洲人的这些奇妙构思紧密相连，这大概就是所谓沉甸甸的历史。我们可以不喜欢发现这类怪物的那些人、那些国家、那些怪玩意。刚刚看到德摩根的一段描述，他不仅不喜欢别的国家，连他所在的英国，不管是英格兰，苏格兰，爱尔兰还是威尔士，他全都不喜欢。但这一点也不影响他广交朋友，一个人喜欢什么、不喜欢什么这并不重要，重要的是他曾经是否有过一些奇思妙想。只要有这些东西，他们的这些思想和观念，就永远值得人们去探讨研究。
英国人德摩根在那个时代发现了德摩根定律，这是启迪布尔构建布尔代数的新发现。而德摩根的老师，同样英国人的巴贝奇，成了现代计算机的开创者。还有一位美丽的英国女性艾达，德摩根做过她的老师。她为巴贝奇设计并且制造出的差分机做软件，现在被尊称为计算机的软件之母。而布尔的工作，尽管他从来都没有把他的工作和计算机联系起来，他的逻辑代数却是今天计算机科学的基础。我刚阅读的一份布尔文献中就记载这样一件事，1989年，计算机科学方兴未艾之时，秘鲁国利马市的一栋计算机公司大楼，就是为纪念英国人布尔而建。巨大的GEORGE BOOLE字母，刻印在这个大楼的高耸墙面。而当今几乎所有的计算机编程语言，都会有一个以布尔名字命名的布尔类型。
布尔类型
巴贝奇差分机
那么，布尔代数为逻辑和计算机科学做了些什么工作呢？我的随笔将主要从逻辑学的角度，分为三至四篇来回顾一下他的工作，本篇先来理解布尔的符号法则。
布尔的一本名著《思维法则研究》（1854），第二章就开始讨论符号和它们的法则。
《思维法则研究》照片
但奇怪的是，莱布尼兹那本1704年写完的《人类理智新论》，用对话的方式，与英国哲学家洛克讨论思维，讨论数学，讨论语言，就是没有提到符号。但洛克有一本《人类理解论》的著作，却被认为是符号学一词的来源。该书中，洛克把科学分为三类，一类是物理学，一类是伦理学，第三类呢？洛克说：
“可以叫做符号学（semiotic），就是所谓符号之学。各种符号因为大部分是文字，所以这种学问，也叫做逻辑学。”（转引自《符号学导论》第2页，陈宗明 黄华新主编）
布尔符号法则中的符号，大约承继的就是这个英国学者洛克的符号观念。展现布尔符号法则的那本名著《思维法则研究》，该书的副标题：“这项研究的基础就是逻辑和概率的数学理论”。思维、数学还有逻辑，其中的数学和逻辑，按布尔这个副标题的涵义，不就是研究思维及其法则的基础么？
布尔在这本著作中，提到了一大串欧洲人，从罗马晚期的波菲利，到中世纪早期的鲍依修斯，然后到中世纪盛期的安瑟林和阿布拉尔，再到文艺复兴时期的拉姆斯，接之就到了现代时期的笛卡尔，排在最后一个时期的，则是英国人培根和洛克。这样一大拨人，他们所关注的思维研究，一直都是围绕着语言符号这个主题，也就是以上引文中，洛克所指谓的逻辑学相关领域。（见布尔《思维法则研究》英文版第2页）
于是我们立刻就从布尔的《思维法则研究》的第二章，看到了他着手讨论的题目：符号作为系统的基本元素和它们的法则（signs and their laws）。
符号被布尔定义为：符号是一个任意的标记，有一个固定的解释，它有一种和其它符号组合起来的感知性，而这样的组合则依赖它们相互解释的固定法则。（见布尔《思维法则研究》英文版第25页）
这个定义应该是比较清晰地告知了我们，我们总是先有一些符号的框架，然后再为这个框架系统找出法则来。
所有的语言运作，最根本的就是推理，语言就是推理的工具。这类工具，其实可以看作是一个符号系统，这个系统由一些基本元素来构成。布尔的文字简练，他直接地就开始论述，一个理性话语系统的基本元素有以下三类。
第一类：文字符号，可以用小写的英文字母x，y，z来表示。这些字母符号可用来表达我们概念主体所指谓的那些东西。
第二类：运算符号，例如加法+，减法-，还有乘法*。这些运算符号，代表我们的心灵中那些最基本的操作模式。借助于这些模式，我们可以把心灵中的观念组合起来。或者是，形成一些新的观念，但这些新观念涉及到的是我们语言中的基本元素。
可以看到，布尔没有给出除法。这有点类似莱布尼兹构造他的普遍语言时，只给出加法，没有减法、乘法、自然更没有除法，因为莱布尼兹还没有找到处理减法的有效法则，更不用说乘法和除法了。
布尔在这里显然前进了一大步，借助算术的运算符号来处理自然语言符号，似乎在布尔给出的这个第二类基本元素中，我们感觉到更多的期待。
第三类：等同符号，=。
有了以上的三类符号，布尔有关符号运算的法则，就被概括为以下七个公式。
布尔的七个符号运算法则：
- x*y =y*x 乘法交换律
- x+y=y+x 加法交换律
- x（x+y） 加法分配律
4． z（x*y） 乘法分配律
5. if x=y，那么zx=zy
z+x=z+y
x-z=y-z
6.x-y=-y+x
7.x2 =x
这个法则7，布尔称为指数法则（index law），法则5和法则6没有另外的命名。全部法则中的前六个都在算术中有效，直觉上也是自明的。但法则5在z=0时无效。法则7则是布尔代数最著名的法则，也是布尔代数不同于算术的根本所在。
当所有上述法则仅用在两个数，1和0的时候，上述七条法则全都成立。布尔如何来引入二值的0和1，作为他的代数理论的基本值？这样的引入何以导致现代逻辑的诞生？且待下篇道来。2020/05/17