Advanced控制理论(1~2)

参考

DR_CAN

1.介绍

我们想让咖啡温度保持在95度

其他因素也会影响系统的输出，如：

$\surd$√	$M_w$Mw​:水的质量
$\surd$√	$Cp_{w}$Cpw​:水比热
$\times$×	$T_a$Ta​:空气温度
$\times$×	$V_a$Va​:空气流动速度
$\times$×	$\varepsilon$ε:传热效率

  当系统中所有的量都已知时，一定有一种方法来调节开关，使得系统的输出稳定在一个固定值上。但是空气温度、空气流动速度和传热效率都难以测得。引入一个反馈系统（Feedback System）能很好的解决这个问题，引入新的变量:误差(Error)
$e=T_{wd}-T_{w}$e=Twd​−Tw​
其中$T_{wd}$Twd​为目标温度，$T_w$Tw​为实际温度。

控制系统则变为下图

$P_s=u(e)$Ps​=u(e)
目标是使得误差e趋于0。

2.状态空间State Space

弹簧质量阻尼系统

输入：$u(t)=f(t)$u(t)=f(t)
输出：$x$x

$f_k=kx,f_B=B \dot{x}$fk​=kx,fB​=Bx˙

由牛顿第二定律F=ma得：
$\begin{aligned} &m \ddot{x} = f(t)-f_k-f_B\\ &\Rightarrow m \ddot{x}+B \dot{x}+kx = f_k \end{aligned}$​mx¨=f(t)−fk​−fB​⇒mx¨+Bx˙+kx=fk​​

对式子两端进行拉普拉斯变换得到传递函数：
$\begin{aligned} &\mathcal{L}\left [ m \ddot{x}+B \dot{x}+kx \right ] = \mathcal{L}[f_k]\\\\ &\Rightarrow ms^2 X(s)+BsX(s)+kX(s) = F(s)\\\\ &\Rightarrow G(s) = \frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^2+Bs+k} \end{aligned}$​L[mx¨+Bx˙+kx]=L[fk​]⇒ms2X(s)+BsX(s)+kX(s)=F(s)⇒G(s)=F(s)X(s)​=ms2+Bs+k1​​

这是经典控制理论的表达式，在现代控制理论当中，用的是状态-空间表达。状态-空间可以看作是包含系统的输入、输出和状态变量的一个集合，集合则用一阶微分方程表达。
$状态-空间：集合 \begin{Bmatrix} 输入\\ 输出\\ 状态变量 \end{Bmatrix}一阶微分方程$状态−空间：集合⎩⎨⎧​输入输出状态变量​⎭⎬⎫​一阶微分方程

$m \ddot{x}+B \dot{x}+kx = f_k$mx¨+Bx˙+kx=fk​
选择状态变量，消除高阶项
状态：$\begin{cases}\begin{aligned}z_1 & = x\\z_2 & = \dot{x}\end{aligned}\end{cases}${z1​z2​​=x=x˙​​
$\begin{cases}\begin{aligned} \dot{z}_1 & = \dot{x} = z_2\\ \dot{z}_2 & = \ddot{x} = f(t)-B\dot{x}-kx)\frac{1}{m} = \frac{1}{m}u(t)-\frac{B}{m}z_2-\frac{k}{m}z_1 \end{aligned}\end{cases}$⎩⎨⎧​z˙1​z˙2​​=x˙=z2​=x¨=f(t)−Bx˙−kx)m1​=m1​u(t)−mB​z2​−mk​z1​​​

写成线性代数形式
$\begin{bmatrix} \dot{z}_1 \\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{B}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1\\ z_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u(t) \end{bmatrix}$[z˙1​z˙2​​]=[0−mk​​1−mB​​][z1​z2​​]+[0m1​​][u(t)​]

$y= \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1\\ z_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u(t) \end{bmatrix}$y=[1​0​][z1​z2​​]+[0​][u(t)​]

$\dot{Z}=Az+Bu\\ y=Cz+Du\\ A=\begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{B}{m} \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix},D=0$Z˙=Az+Buy=Cz+DuA=[0−mk​​1−mB​​],B=[0m1​​],C=[1​0​],D=0

状态-空间方程的传递函数和动态方程的传递函数的关系

对系统的状态-空间方程作拉普拉斯变换：
$\mathcal{L} [\dot{Z}]=\mathcal{L} [Az+Bu]\\ \Rightarrow sZ(s)=AZ(s)+BU(s)\\ \Rightarrow Z(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$L[Z˙]=L[Az+Bu]⇒sZ(s)=AZ(s)+BU(s)⇒Z(s)=(sI−A)−1BU(s)
其中$I$I为单位矩阵。

对系统的输出作拉普拉斯变换：
$\mathcal{L}[y]=\mathcal{L}[Cz+Du]$L[y]=L[Cz+Du]
$\begin{aligned} \Rightarrow Y(s) &=CZ(s)+DU(s)\\ &=C(sI-A)^{-1}BU(s)+DU(s) \end{aligned}$⇒Y(s)​=CZ(s)+DU(s)=C(sI−A)−1BU(s)+DU(s)​
则传递函数

$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=C(sI-A)^{-1}B+D$G(s)=U(s)Y(s)​=C(sI−A)−1B+D

$sI-A= \begin{bmatrix} s &0 \\ 0&s \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0&1\\ -\frac{k}{m}&-\frac{B}{m} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s&-1\\ \frac{k}{m}&s+\frac{B}{m} \end{bmatrix}$sI−A=[s0​0s​]−[0−mk​​1−mB​​]=[smk​​−1s+mB​​]

  $A^{-1}=\frac{A^*}{|A|},A^*$A−1=∣A∣A∗​,A∗伴随矩阵(对角互换，反对角取相反数)，$|A|$∣A∣行列式

$\begin{aligned} (sI-A)^{-1} &=\frac{(sI-A)^{*}}{|sI-A|}\\ &=\frac{\begin{bmatrix} s+ \frac{B}{m}&1 \\ -\frac{k}{m} &s \end{bmatrix}}{s(s+ \frac{B}{m})-(-1)(\frac{k}{m})}\\ &=\frac{\begin{bmatrix} s+ \frac{B}{m}&1 \\ -\frac{k}{m} &s \end{bmatrix}}{s^2+ \frac{B}{m}s+\frac{k}{m}} \end{aligned}$(sI−A)−1​=∣sI−A∣(sI−A)∗​=s(s+mB​)−(−1)(mk​)[s+mB​−mk​​1s​]​=s2+mB​s+mk​[s+mB​−mk​​1s​]​​

$\begin{aligned} C(sI-A)^{-1} &=\begin{bmatrix} 1 &0 \end{bmatrix} \frac{\begin{bmatrix} s+ \frac{B}{m}&1 \\ -\frac{k}{m} &s \end{bmatrix}}{s^2+ \frac{B}{m}s+\frac{k}{m}}\\ &=\frac{\begin{bmatrix} s+ \frac{B}{m}&1 \end{bmatrix}}{s^2+ \frac{B}{m}s+\frac{k}{m}} \end{aligned}$C(sI−A)−1​=[1​0​]s2+mB​s+mk​[s+mB​−mk​​1s​]​=s2+mB​s+mk​[s+mB​​1​]​​

$\begin{aligned} C(sI-A)^{-1}B+D &=\frac{\begin{bmatrix} s+ \frac{B}{m}&1 \end{bmatrix}}{s^2+ \frac{B}{m}s+\frac{k}{m}} \begin{bmatrix} 0\\ \frac{1}{m} \end{bmatrix}+0\\ &=\frac{\frac{1}{m}}{s^2+ \frac{B}{m}s+\frac{k}{m}}\\ &=\frac{1}{ms^2+ Bs+k} \end{aligned}$C(sI−A)−1B+D​=s2+mB​s+mk​[s+mB​​1​]​[0m1​​]+0=s2+mB​s+mk​m1​​=ms2+Bs+k1​​
$G(s)=\frac{1}{ms^2+ Bs+k}$G(s)=ms2+Bs+k1​
  显然，这两个传递函数是一样的。

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$|sI-A| \propto ms^2+ Bs+k$∣sI−A∣∝ms2+Bs+k

$|sI-A|=0 \Rightarrow s$∣sI−A∣=0⇒s是$A$A的特征值
$ms^2+ Bs+k=0 \Rightarrow s$ms2+Bs+k=0⇒s是极点
  经典控制系统中，极点决定系统的稳定性，特征值也决定稳定性？

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练习：

输入：$u$u
输出：$y=i_{R1}$y=iR1​
状态变量：$V_1,V_2$V1​,V2​

KCL:$\sum I=0$∑I=0
$\begin{cases} e_1:i_{R1}=i_1+i_{R2}\\ e_2:i_{R2}=i_2 \end{cases}${e1​:iR1​=i1​+iR2​e2​:iR2​=i2​​

$i_{R1}=\frac{U-V_1}{R_1},\quad i_{R2}=\frac{V_1-V_2}{R_2}\\ i_1=C_1 \dot{V}_1, \quad i_2=C_2 \dot{V}_2$iR1​=R1​U−V1​​,iR2​=R2​V1​−V2​​i1​=C1​V˙1​,i2​=C2​V˙2​

则
$\begin{cases} e_1:\frac{U-V_1}{R_1}=C_1 \dot{V}_1+\frac{V_1-V_2}{R_2}\\ e_2:\frac{V_1-V_2}{R_2}=C_2 \dot{V}_2 \end{cases}${e1​:R1​U−V1​​=C1​V˙1​+R2​V1​−V2​​e2​:R2​V1​−V2​​=C2​V˙2​​

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$\Rightarrow \begin{cases} e_1:\dot{V}_1=\frac{1}{C_1R_1}u-(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2})V_1+\frac{1}{C_1R_2}V_2\\ e_2:\dot{V}_2=\frac{1}{C_2R_2}V_1-\frac{1}{C_2R_2}V_2 \end{cases}$⇒{e1​:V˙1​=C1​R1​1​u−(C1​R1​1​+C1​R2​1​)V1​+C1​R2​1​V2​e2​:V˙2​=C2​R2​1​V1​−C2​R2​1​V2​​

$y=i_{R1}=\frac{1}{R_1}u-\frac{1}{R_1}V_1$y=iR1​=R1​1​u−R1​1​V1​

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$\begin{bmatrix} \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2})V_1&\frac{1}{C_1R_2}\\ \frac{1}{C_2R_2}&-\frac{1}{C_2R_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{C_1R_1}\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \end{bmatrix}$[V˙1​V˙2​​]=[−(C1​R1​1​+C1​R2​1​)V1​C2​R2​1​​C1​R2​1​−C2​R2​1​​][V1​V2​​]+[C1​R1​1​0​][u​]

$y= \begin{bmatrix} -\frac{1}{R_1}&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} \frac{1}{R_1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \end{bmatrix}$y=[−R1​1​​0​][V1​V2​​]+[R1​1​​][u​]

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