【数学】函数及其性质（宇哥笔记）

【数学】函数及其性质（宇哥笔记）
研究对象

微积分的研究对象为函数的“祖孙三代”，爷爷是积分函数，爸爸是原函数，儿子是导函数，积分函数可以求导得原函数，导函数可以求积分得到原函数，以 sinx 为原函数，可得以下图示。
【数学】函数及其性质（宇哥笔记）

性质
求导后：奇偶性互换，周期性不变

$[例]:f(x)二阶可导，T=2，奇函数，f(\frac12)>0,f'(x)>0,比较f(-\frac12),f'(\frac23),f''(0)的大小\\ \because该函数为奇函数\therefore f(-x)=-f(x)\rightarrow f(-\frac12)=-f(\frac12)<0\\ \because f(x):T=2 \therefore f'(x):T=2且f'(x)为偶函数 \\ \therefore f'(\frac23)=f'(\frac23-2)=f'(-\frac12)=f'(\frac12)>0\\ \therefore f''(x)为奇函数\quad 即:f''(0)=0\\得f(-\frac12)<f''(0)<f'(\frac12)$

1.前提：定义域关于原点对称

2.基本类型：

$1.f(x)+f(-x)为偶函数，如\frac{e^x+e^{-x}}{2};\sqrt[3]{(1+x)^2}+\sqrt[3]{(1-x)^2}$
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$2.f(x)-f(-x)为奇函数，如\frac{e^x-e^{-x}}{2}；\ln\frac{1+x}{1-x}$

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$3.f[\psi(x)]为复合函数\\奇[偶]=偶：sinx^2\\偶[奇]=偶：cos(sinx);\mid sinx\mid \\ 奇[奇]=奇：sin\frac1x;\sqrt[3]{tanx} \\ 偶[偶]=偶：cos\mid x \mid ;\mid cosx \mid \\非[偶]=偶：e^{x^2};\ln\mid x\mid$
$4.一个特殊函数：\ln(x+\sqrt{1+x^2})为奇函数$
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$5.求导后奇偶性互换\\ 6.以0为下限，求积分后奇偶性互换，如f(x)为奇函数，则\int_0^xf(t)dt为偶函数\\ 7.(题源)f(x)连续,\forall x,y,使f(x+y)=f(x)+f(y)\rightarrow f(x)为奇函数\\ 证明：取y=0,f(x)=f(x)+f(0)=f(0)=0；取y=-x,f(0)=f(x)+f(-x)\rightarrow f(x)=f(-x0)\\ [例]\int_{-1}^1\ln(x+\sqrt{1+x^2})e^{-x^2}dx=0,前者是4的奇函数，后者为偶函数，得奇函数\\ \int_{-1}^1(\int_0^xe^{-t^2}dt)x^2dx=0,前者为奇函数，后者为偶函数，得奇函数\\ 以7为前置条件，\int_{-1}^1(x^2+1)f(x)dx=0,前者为偶函数，后者为奇函数，得奇函数$ 5.求导后奇偶性互换6.以0为下限，求积分后奇偶性互换，如f(x)为奇函数，则∫0xf(t)dt为偶函数7.(题源)f(x)连续,∀x,y,使f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x)为奇函数证明：取y=0,f(x)=f(x)+f(0)=f(0)=0；取y=−x,f(0)=f(x)+f(−x)→f(x)=f(−x0)[例]∫−11ln(x+1+x2)e−x2dx=0,前者是4的奇函数，后者为偶函数，得奇函数∫−11(∫0xe−t2dt)x2dx=0,前者为奇函数，后者为偶函数，得奇函数以7为前置条件，∫−11(x2+1)f(x)dx=0,前者为偶函数，后者为奇函数，得奇函数

3.变体类型（平移）：
$1.f(x)为偶函数\rightarrow 关于y轴对称，即f(0+x)=f(0-x) (平移)得f(x)关于x=T对称，即f(T+x)=f(T-x)\\ [例]f(x)为正值且连续，\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1,又f(1+x)=f(1-x),且\int_0^2f(x)dx=0.6,则\int_{-\infty}^0f(x)dx=0.2\\ 2.f(x)为奇函数\rightarrow关于(0,0)对称，(平移)\rightarrow关于(x_0,0)对称，如x^3\rightarrow (x-1)^3\\ [例]\int_{-1}^1x^3dx=0;\int_0^2(x-1)^3dx=0;\int_0^4(x-2)dx=0$

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