【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 19】

在上一个连载里面，我们介绍了散度的定义，最后给出了矢量微分算子和散度的关系：

但是，为什么这个表达式可以成立呢？今天我们来证明一下（以直角坐标系为例）

注：今天的连载涉及的公式较多，实在不能理解可以跳过，不影响后续的阅读。

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我们看下面这个矩形：

我们看这个长方体的最左下角的顶点 $M$M，定义 $M(x, y, z)$M(x,y,z)，长方体的长宽高分别是 $△y, △x, △z$△y,△x,△z

在 $M$M 点处的矢量为：$\overrightarrow{A} = A_x\overrightarrow{a_x}+A_y\overrightarrow{a_y}+A_z\overrightarrow{a_z}$A=Ax​ax​​+Ay​ay​​+Az​az​​ 这里特别注意：$A_x, A_y,A_z$Ax​,Ay​,Az​都是 $(x,y,z)$(x,y,z) 三者的函数！

我们下面先看看长方体前面的通量：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS = \oiint_{S1}A_xdS = A_x(x+△x, y, z)△y△z$∬​S1​A⋅afront​​dS=∬​S1​Ax​dS=Ax​(x+△x,y,z)△y△z
下面，我们回忆一下泰勒公式是怎么用的，下面是 $f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处的泰勒展开：$f(x) = \frac{f(x_0)}{0!} + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots$f(x)=0!f(x0​)​+1!f′(x0​)​(x−x0​)+2!f′′(x0​)​(x−x0​)2+⋯
那么，类似地使用变量代换，将上式的 $x$x 代换成 $x+△x$x+△x，$x_0$x0​ 换成 $x$x，$f()$f()函数使用 $A_x()$Ax​()替换，得：$A_x(x+△x,y,z) =A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 A_x(x,y,z)}{\partial x^2}△x^2+\cdots$Ax​(x+△x,y,z)=Ax​(x,y,z)+∂x∂Ax​(x,y,z)​△x+21​∂x2∂2Ax​(x,y,z)​△x2+⋯
因此，我们可以得到一个近似表达：$A_x(x+△x,y,z) ≈ A_x(x,y,z)+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x$Ax​(x+△x,y,z)≈Ax​(x,y,z)+∂x∂Ax​(x,y,z)​△x

因此，前面的净通量就近似表示成：$\oiint_{S1}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{front}} dS ≈A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z$∬​S1​A⋅afront​​dS≈Ax​(x,y,z)△y△z+∂x∂Ax​(x,y,z)​△x△y△z
那么，我们再看看后面得通量：由于 $A_x\overrightarrow{a_x}$Ax​ax​​ 的方向是沿着 $x$x 轴的正方向，因此与 $\overrightarrow{a_{back}}$aback​​ 的方向相反，那么得到的通量结果是：$\oiint_{S2}\overrightarrow{A}\sdot \overrightarrow{a_{back}} dS = -A_x(x,y,z)△y△z$∬​S2​A⋅aback​​dS=−Ax​(x,y,z)△y△z

那么，我们就可以得到前后两个面的净通量：$\begin{aligned} Φ_{front} + Φ_{back} &= A_x(x,y,z)△y△z+\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z - A_x(x,y,z)△y△z\\ &=\frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z \end{aligned}$Φfront​+Φback​​=Ax​(x,y,z)△y△z+∂x∂Ax​(x,y,z)​△x△y△z−Ax​(x,y,z)△y△z=∂x∂Ax​(x,y,z)​△x△y△z​

那么，如果我们求出前后左右上下六个面的净通量，就可以表示成：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△x△y△z + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△x△y△z + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△x△y△z$Φtotal​=∂x∂Ax​(x,y,z)​△x△y△z+∂y∂Ay​(x,y,z)​△x△y△z+∂z∂Az​(x,y,z)​△x△y△z
令体积微元 $△V = △x△y△z$△V=△x△y△z，因此得到闭合曲面净通量表达式：$Φ_{total} = \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x}△V + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y}△V + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}△V$Φtotal​=∂x∂Ax​(x,y,z)​△V+∂y∂Ay​(x,y,z)​△V+∂z∂Az​(x,y,z)​△V
把它重新带入散度的定义式，我们就可以得到散度的计算公式：$\begin{aligned} div\overrightarrow{A} &= \frac{\partial A_x(x,y,z)}{\partial x} + \frac{\partial A_y(x,y,z)}{\partial y} + \frac{\partial A_z(x,y,z)}{\partial z}\\ &=\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = ▽\overrightarrow{A} \end{aligned}$divA​=∂x∂Ax​(x,y,z)​+∂y∂Ay​(x,y,z)​+∂z∂Az​(x,y,z)​=∂x∂Ax​​+∂y∂Ay​​+∂z∂Az​​=▽A​

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有了上面的证明，我们可以理直气壮地写出 $Maxwell$Maxwell 方程中描述静电场公式的微分形式啦：

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那么我们想想 $Maxwell$Maxwell 方程中描述磁场的那个式子：

这不也是一样的形式嘛，只要是描述通量的，那么在微分形式里面我们就可以用散度描述他们：

那么至此，我们已经了解了对于闭合曲面积分的这种形式如何用微分形式描述——通过散度，那么我们知道 $Maxwell$Maxwell 方程里面还有闭合的线积分，那闭合线积分应该如何用微分形式描述呢？我们下一个连载好好说说。