通俗易懂的PCA降维原理详解
在机器学习实际的开发中，对原始数据的处理可能会占到主要的工作量，数据处理的好坏也往往直接关系到模型最后结果的好坏。在我们对原始数据进行特征提取时，有时会得到高维的特征向量，其中包含很多冗余和噪声。此时我们希望在高维的特征中找到影响整体的最主要的特征，来提升特征的表达能力、降低训练的复杂度。今天大管就和大家来聊一聊主成分分析(Principal Components Analysis)简称PCA是如何做到的。
PCA的目的是找到数据中的主要成分，并且利用这些主要成分表示原始数据，从而达到降维的目的。在高维数据中，想要精准的找到主成分是非常困难的，现在我们从二维的说起PCA是如何工作的。如下图所示
从图中可以看到，数据的主要成分坐在PC1这条轴上，这条轴上的数据有什么特点呢？数据的分布更为分散，即数据的方差更大。如果不好理解可以这样假设，当数据在某个轴上的投影为一个点，这样好吗？当然不好，因为一个点的话会丢掉左右数据的特征。比如在信号处理领域，信号具有较大的方差，噪声则具有较小的方差，信号与噪声的比叫做信噪比，信噪比越大意味着数据的质量越好。由此，可以得到，PCA的目标为最大化投影方差即让数据在主轴上投影的方差最大。
具体的做法如下
假设我们有一组数据点:
其中所有的向量均为列向量，对这些数据进行中心化：
其中μ是数据的均值。
在数学中，向量投影到另一个向量上的长度用向量的内积表示，因此向量xi在ω上的投影坐标可以表示为:
故PCA的目标又可以理解为找到一个投影方向ω，使得x1,x2,...xn在ω上的投影方差尽可能的大。(ω为方向单位向量，投影之后的均值为0)
投影之后的方差为：
上述的结果其实就是协方差矩阵，我们设为∑。由于ω是单位方向向量，所以ωTω=1。所以我们的最大化问题可以表示为:
使用拉格朗日乘子法，对w求导，令其等于0，得到∑ω=λω。故
到这里悬着的心终于落下来了，原来，x投影后的方差就是其协方差矩阵的特征值。最大的方差也就是协方差矩阵最大的特征值，次佳的投影方向就是第二大特征值，以此类推。于是我们得到PCA的求解步骤
PCA求解步骤
(1)对样本进行中心化处理；
(2)球中心化处理后的协方差矩阵；
(3)对协方差矩阵进行特征值分解，将特征向量从大到小排列；
(4)去前d个特征向量w1,w2,...wd，通过以下映射将n维样本降维到d维。
更多内容请扫描下方二维码关注小编公众号:程序员大管
参考资料
周志华 《机器学习》
葫芦娃 《百面机器学习》