【转】奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

学到PCA降维，用到的SVD奇异值分解，又复习了一遍。这篇文章讲的还挺清晰的。想起去年为了应付考试一个月自学矩阵论(´･Д･)」，偷过的懒迟早要还的。

奇异值分解(Singular Value
Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。
转载原文：
http://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

4. SVD的一些性质　

　上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

　对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

Amn=UmmΣmnVTnn≈UmkΣkkVTkn$A_{mn}=U_{mm}{\Sigma }_{mn}{V}_{nn}^T\approx U_{mk}{\Sigma }_{kk}{V}_{kn}^T$
　其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
　
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

　在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵XTX$X^{T}X$的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵XTX$X^{T}X$，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

　注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵XTX$X^{T}X$最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵XTX$X^{T}X$，也能求出我们的右奇异矩阵V$V$。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

　另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

　假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵XXT最大的d个特征向量张成的m×d维矩阵U，则我们如果进行如下处理：

X′dn=UTdmXmn$X_{dn}^{\prime }=U_{dm}^T{X}_{mn}$
　可以得到一个d×n的矩阵X′$X^{\prime }$,这个矩阵和我们原来的m×n维样本矩阵X$X$相比，行数从m减到了k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。　　

对基础的线性变换的进一步解释和引申到的一些其他更有意思的东西
转自：
https://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html