奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
转载自刘建平Pinard随笔
看了好多关于SVD的介绍,感觉这篇解释的非常通俗,就转载了。。。。。 奇异值分解(Singular Value Decomposition,以下简称SVD)
是在机器学习领域广泛应用的算法,它不光可以用于降维算法中的特征分解
,还可以用于推荐系统
,以及自然语言处理
等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结,并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。
1. 回顾特征值和特征向量
我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下:
求出特征值和特征向量有什么好处呢? 就是我们可以将矩阵A特征分解
。如果我们求出了矩阵的个特征值,以及这n个特征值所对应的特征向量,那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示:
其中是这个特征向量所张成的维矩阵,而为这个特征值为主对角线的维矩阵。
一般我们会把的这个特征向量标准化
,即满足, 或者说,此时W的n个特征向量为标准正交基,满足,即, 也就是说为酉矩阵。
这样我们的特征分解表达式可以写成
注意到要进行特征分解,矩阵A必须为方阵
。那么如果A不是方阵
,即行和列不相同时,我们还可以对矩阵进行分解吗?答案是可以,此时我们的SVD登场了。
2. SVD的定义
SVD
也是对矩阵进行分解,但是和特征分解不同,SVD并不要求要分解的矩阵为方阵
。假设我们的矩阵A是一个的矩阵,那么我们定义矩阵A的SVD为:
其中是一个的矩阵,是一个的矩阵,除了主对角线上的元素以外全为0,主对角线上的每个元素
都称为奇异值,是一个的矩阵。和都是酉矩阵
,即满足,。下图可以很形象的看出上面SVD
的定义:
那么我们如何求出SVD
分解后的,,这三个矩阵呢?
如果我们将的转置
和做矩阵乘法,那么会得到的一个方阵。既然是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵的个特征值和对应的个特征向量了。将的所有特征向量张成一个的矩阵,就是我们SVD
公式里面的矩阵了。一般我们将中的每个特征向量叫做的右奇异向量
。
如果我们将和的转置
做矩阵乘法,那么会得到的一个方阵。既然是方阵,那么我们就可以进行特征分解,得到的特征值和特征向量满足下式:
这样我们就可以得到矩阵的个特征值和对应的个特征向量了。将的所有特征向量张成一个的矩阵,就是我们SVD
公式里面的矩阵了。一般我们将中的每个特征向量叫做的左奇异向量
。
和我们都求出来了,现在就剩下奇异值矩阵没有求出了。由于除了对角线上是奇异值
其他位置都是0,那我们只需要求出每个奇异值
就可以了。
我们注意到:
这样我们可以求出我们的每个奇异值,进而求出奇异值矩阵ΣΣ。
上面还有一个问题没有讲,就是我们说的特征向量组成的就是我们SVD
中的矩阵,而特征向量组成的就是我们SVD
中的矩阵,这有什么根据吗?这个其实很容易证明,我们以矩阵的证明为例。
上式证明使用了:, 。可以看出的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V
矩阵。类似的方法可以得到的特征向量组成的就是我们SVD中的U
矩阵。
进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方,也就是说特征值和奇异值满足如下关系:
这样也就是说,我们可以不用来计算奇异值,也可以通过求出的特征值取平方根
来求奇异值。
3. SVD计算举例
这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为:
我们首先求出和
进而求出的特征值和特征向量:
接着求的特征值和特征向量:
利用求奇异值:
当然,我们也可以用直接求出奇异值为和1.
最终得到的奇异值分解为:
4. SVD的一些性质
上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述,似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢?
对于奇异值
,它跟我们特征分解中的特征值
类似,在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列
,而且奇异值的减少特别的快
,在很多情况下,前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例
。也就是说,我们也可以用最大的k个的奇异值
和对应的左右奇异向量
来近似描述矩阵
。也就是说:
其中要比小很多,也就是一个大的矩阵可以用三个小的矩阵来表示。如下图所示,现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质,SVD
可以用于PCA降维
,来做数据压缩
和去噪
。也可以用于推荐算法
,将用户和喜好对应的矩阵做特征分解,进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法,比如潜在语义索引(LSI)。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。
5. SVD用于PCA
利用PCA降维,需要找到样本协方差矩阵
的最大的d个特征向量
,然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出,在这个过程中需要先求出协方差矩阵,当样本数多样本特征数也多的时候,这个计算量是很大的。
注意到我们的SVD
也可以得到协方差矩阵
最大的d个特征向量张成的矩阵,但是SVD
有个好处,有一些SVD
的实现算法可以不求先求出协方差矩阵
,也能求出我们的右奇异矩阵
。也就是说,我们的PCA算法可以不用做特征分解
,而是做SVD
来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上,scikit-learn
的PCA
算法的背后真正的实现就是用的SVD
,而不是我们我们认为的暴力特征分解。
另一方面,注意到PCA
仅仅使用了我们SVD
的右奇异矩阵
,没有使用左奇异矩阵
,那么左奇异矩阵
有什么用呢?
假设我们的样本是的矩阵,如果我们通过SVD
找到了矩阵最大的d个特征向量张成的维矩阵U,则我们如果进行如下处理:
可以得到一个的矩阵,这个矩阵和我们原来的维样本矩阵X相比,行数从减到了,可见对行数进行了压缩。也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的,右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩,也就是我们的PCA降维
。
6. SVD小结
SVD
作为一个很基本的算法,在很多机器学习算法中都有它的身影,特别是在现在的大数据时代,由于SVD
可以实现并行化,因此更是大展身手。SVD的原理不难,只要有基本的线性代数知识就可以理解,实现也很简单因此值得仔细的研究。当然,SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强,有点黑盒子的味道,不过这不影响它的使用。