机器学习算法之SVM(3)核函数

1、映射
想象一下，一个三维空间的立方体，一个顶点与x、y平面接触，其余点z都大于0。现在，想要把立方体的上下各四个点分开，只需要沿着从边的中间画一个超平面即可。

但是如果，将这些点直接投影到x、y平面上，那么刚刚还可以分开的两组各四个点就有可能犬牙交错，完全非线性不可分了。

把刚刚的过程逆过来，就是非线性不可分情况下的分类方法了：

支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。

2、核函数

由SVM(1):

∂L(w,b,α)∂w=w−∑m1αi(yixi)=0

那么：

f(x)=WTX+b=(∑m1αi(yiXi))TX+b=∑m1αiyi<(Xi)T,X>+b

将x替换为H(x)，那么：

f(x)=WTX+b=(∑m1αi(yiXi))TX+b=∑m1αiyi<(H(Xi)),H(X)>+b

此时，一旦维数过高，那么就会产生维数灾难，对于计算而已实在是难以想象。

于是，核函数应运而生：

它可以让x 不用通过H()映射到高维空间再计算内积，而是直接在低维空间里计算。

三、几个核函数

1、线性核：

K<x,y>=(<x,xi>)d

已知问题是线性可分的，就可以直接使用线性核。

2、多项式核：

K<x,y>=(<x,xi>+c)d

3、高斯核：

K<x,y>=exp(−||x−xi||2δ2)

指数函数的泰勒展开式本身就是可以扩展到n维，高斯核只是参数换成了−||x−xi||2δ2

如果δ选的很大的话，高次特征的权重衰减的很快，实际上就很接近低维的空间了；如果delta选的过小，虽然可以将任意的非线性数据都可以分了，但是维数的增加就会造成严重的过拟合。

4、sigmod核

K<x,y>=tanh(K(<x,xi>)−δ)

与权重点积后再经过一个**函数，与神经网络有点相似吧？

其实这两者都基于感知机理论，

但是神经网络是个“黑匣子”，优化目标是基于经验风险最小化，易陷入局部最优；

支持向量机有严格的理论和数学基础，基于结构风险最小化原则，结果具有全局最优性。