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图像梯度的定义（离散）

对于一个二元函数$F(x,y)$F(x,y)来说，其偏导数的定义为：

$\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}=\displaystyle \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\frac {F(x+\epsilon,y)-F(x,y)}{\epsilon}$δxδF(x,y)​=ϵ→0lim​ϵF(x+ϵ,y)−F(x,y)​
这是沿着x方向的定义。这种定义适用于连续函数，而图像是二维的离散函数，$\epsilon$ϵ不能无限趋近于0，最小只能是1个像素，因此我们使用有限差分来近似计算梯度。上面的公式变为：
$X:\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}\approx\frac {F(x+1,y)-F(x,y)}{1}$X:δxδF(x,y)​≈1F(x+1,y)−F(x,y)​
同理y方向的定义为：
$Y:\frac {\delta F(x,y)}{\delta x}\approx\frac {F(x,y+1)-F(x,y)}{1}$Y:δxδF(x,y)​≈1F(x,y+1)−F(x,y)​
这种近似计算的方式属于前向差分。

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图像梯度理解

在数学上，梯度的本意是一个向量，表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

N元函数在每一个点的梯度是一个由在N个方向的偏导数组成的N维向量。拿三元函数$f(x,y,z)$f(x,y,z)来说，如果其梯度存在，则梯度的定义为：
$\nabla f = \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{i} + \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{j} + \frac {\vartheta f}{\vartheta x}\textbf{k}$∇f=ϑxϑf​i+ϑxϑf​j+ϑxϑf​k
这样梯度就提供了两种信息——大小和方向。梯度的方向告诉我们函数在这个点沿着这个方向上升最快(负梯度就代表函数在这个点沿着负梯度方向下降最快)。把函数比作一座“山”，我们站在半山腰上，如果我们要上山则沿着梯度方向可以最快到达山顶，如果是下山则沿着梯度的反方向（负梯度方向）则可以最快到达山脚。梯度的大小代表了沿着这个方向的变化率。

由于梯度的定义只适用于连续的函数，而图像是二维的离散函数，因此对于图像来说我们需要使用有限差分（Finite differences）来近似计算梯度。我们以一元函数$f(x)$f(x)来举例，$f(x)$f(x)在某一点的导数定义为：
$Derivative:f'(x) = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$Derivative:f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​
下面使用差分来近似，假设$h$h为一个非零固定值，则上面的导数定义变为：
$f'(x) \approx\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$f′(x)≈hf(x+h)−f(x)​
有限差分最常使用的有三种形式：前向、后向、中心。

• 前向
  $f'(x) \approx\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$f′(x)≈hf(x+h)−f(x)​
• 后向
  $f'(x) \approx\frac {f(x)-f(x-h)}{h}$f′(x)≈hf(x)−f(x−h)​
• 中心
  $f'(x) \approx\frac {f(x+0.5h)-f(x-0.5h)}{h}$f′(x)≈hf(x+0.5h)−f(x−0.5h)​

对于计算图像梯度来说我们使用中心差分来近似计算x、y两个方向的梯度。下面的例子演示了如何计算中间像素点（200）在x方向的中心差分（梯度）

所以在图像中每一个点的梯度指向灰度值增加最大的方向，其大小对应于这个方向的变化率。所以对于图像$f(x,y)$f(x,y)，梯度方向（Direction）和大小（Magnitude）的定义为：
$Magnitude:||\nabla f ||=\sqrt {\left(\frac {\vartheta f}{\vartheta x}\right)^2+\left(\frac {\vartheta f}{\vartheta y}\right)^2}$Magnitude:∣∣∇f∣∣=(ϑxϑf​)2+(ϑyϑf​)2​
$Drection:tan^{-1}(\frac {\vartheta f}{\vartheta y}/\frac {\vartheta f}{\vartheta x})$Drection:tan−1(ϑyϑf​/ϑxϑf​)

简而言之，沿x方向的图像梯度测量的是灰度（亮度）值的水平变化(0 ~ 255)，沿y方向的图像梯度测量的是灰度值的垂直变化(0 ~ 255)

由于在边缘上图像的灰度值会发生突然的改变，因此最大的梯度值将出现在图像中一条边上（忽略噪声）。所以x方向的梯度能找到垂直的边缘，y方向的梯度能找到水平边缘，如图所示：

所以边缘是与梯度方向垂直的，因此图像梯度可以用于边缘检测。此外在使用高斯牛顿法实现光流追踪时，图像梯度用于计算雅可比矩阵。

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