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一阶导数与二阶导数的计算

图像I可以看作(x,y)∈N2→N的映射: i=f(x,y). 其中N为正整数.很明显f在定义域上是不连续的.
不连续函数f(x,y)的导数, 严格来说不算能算作导数, 只是形式上与真正的导数相似. 取Δx=1, 一阶与二阶偏导数分别为:

为简单起见, f(x,y)简写成f(x), 因为求关于x的偏导数时y是恒定的.

作为Spatial Domain Filter的特点

• 一阶导数提取出来的边缘较粗,
• 二阶导数对细节更敏感, 如细线, 噪声等. 它提取出来的边缘更细更强(sharp)
• 二阶导数的符号可用来判断一个转变(transition)是从亮到暗或者相反.

• 应用二阶导数时容易出现double-line effect. (中间位置的二阶导数值与两边的往往不同). 出现双线效应的前提是线本身的宽度小于mask, 否则就不当作线, 而是region了.(见10.2.3)

  注意, 上面的中间和两边的含义是: 只在一条水平线考察图片, x处理edge上为中间位置, x−1,x+1为两边位置.

Reference

• Digital Image Processing, 3rd edition, Chapter 10