§6 解的存在唯一性

C1 存在唯一性定理

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$dxdy​=f(x,y)，$f$f是矩形域$R:|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b$R:∣x−x0​∣≤a,∣y−y0​∣≤b上连续函数 式6.6.1

1）Lipschitz条件：若$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|<L|y_1-y_2|$∣f(x,y1​)−f(x,y2​)∣<L∣y1​−y2​∣，则称$f$f关于$y$y满足Lipschitz条件，$L$L称Lipschitz常数

• 存在连续偏导数$\frac{\partial f}{\partial y}\implies$∂y∂f​⟹$f$f关于$y$y满足Lipschitz条件

2）存在唯一性定理：若$f(x,y)$f(x,y)在矩形域$R$R上连续且关于$y$y满足Lipschitz条件，则式6.1.1才能在唯一解，定义于$|x-x_0|\le \min(a,\frac{b}{\max f})$∣x−x0​∣≤min(a,maxfb​)上

• 在证明过程中，积分曲线被限制在如下区域中
  

• 若$f(x,y) = P(x)y + Q(y)$f(x,y)=P(x)y+Q(y)，则满足上述条件，且此时积分曲线不再被限制

• 推广：若点$(x_0,y_0,y_0')$(x0​,y0​,y0′​)的某一邻域中：

  • $F(x,y,y')$F(x,y,y′)对所有变元$(x,y,y')$(x,y,y′)连续，且存在连续偏导数
  • $F(x_0,y_0,y_0')=0$F(x0​,y0​,y0′​)=0
  • $\frac{\partial F}{\partial y'}\neq 0$∂y′∂F​​=0

  则隐式微分方程$F(x,y,y')=0$F(x,y,y′)=0有唯一解$y=y(x),|x-x_0|<\epsilon$y=y(x),∣x−x0​∣<ϵ，满足初值条件$y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y'_0$y(x0​)=y0​,y′(x0​)=y0′​

3）逐步逼近法：求解式6.1.1，令$\phi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^xf(x,\phi_n(x))\mathrm{d}x$ϕn+1​(x)=y0​+∫x0​x​f(x,ϕn​(x))dx，则$\lim\limits_{n\to\infin}\phi_n(x)=\phi(x)$n→∞lim​ϕn​(x)=ϕ(x)为解

证明：分五个命题证明

• 命题1：$y=y_o+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathrm{d}x$y=yo​+∫x0​x​f(x,y)dx与$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x,y)$dxdy​=f(x,y)同解
• 命题2：$\phi_n(x)$ϕn​(x)在$[x_0,x_0+h]$[x0​,x0​+h]上有定义，连续且$|\phi_n(x)-b|\le b$∣ϕn​(x)−b∣≤b
• 命题3：$\{\phi_n(x)\}${ϕn​(x)}在$[x_0,x_0+h]$[x0​,x0​+h]上一致收敛，$\lim\limits_{n\to\infin}\phi_n(x) = \phi(x)$n→∞lim​ϕn​(x)=ϕ(x)
• 命题4：$\phi(x)$ϕ(x)是积分方程$y=y_o+\int_{x_0}^xf(x,y)\mathrm{d}x$y=yo​+∫x0​x​f(x,y)dx的连续解
• 命题5：解唯一

• 误差公式：$\phi_n(x)-\phi(x)\le \frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}$ϕn​(x)−ϕ(x)≤(n+1)!MLn​hn+1

C2 延拓

1）局部Lipschitz条件：对于区域$G$G内每一点都存在一个含于$G$G的满足Lipschitz条件的矩形域

2）解的延拓定理：若式6.1.1中的$f$f在$G$G上满足局部Lipschitz条件，则解的存在性可以一致延拓到点$(x,\phi(x))$(x,ϕ(x))接近$G$G的边界为止。这里的边界也可以是开边界，或者无穷

3）解对初值的连续性定理：若式6.1.1中$f$f满足局部Lipschitz条件，则$y=\phi(x,x_0,y_0)$y=ϕ(x,x0​,y0​)关于初值也是连续的

4）解对初值的可微性定理：若式6.1.1中$\frac{\partial f}{\partial y}$∂y∂f​在$G$G上连续则$y=\phi(x,x_0,y_0)$y=ϕ(x,x0​,y0​)关于$x_0,y_0$x0​,y0​连续可微，且
$\frac{\partial \phi}{\partial x_0}=-f(x_0,y_0)e^{\int_{x_0}^x\frac{\partial f(x,\phi)}{\partial y}\mathrm{dx}}\\\frac{\partial \phi}{\partial y_0}=e^{\int_{x_0}^x\frac{\partial f(x,\phi)}{\partial y}\mathrm{dx}}$∂x0​∂ϕ​=−f(x0​,y0​)e∫x0​x​∂y∂f(x,ϕ)​dx∂y0​∂ϕ​=e∫x0​x​∂y∂f(x,ϕ)​dx

C3 奇解

1）包络：特殊积分曲线，不属于曲线族，但线上每一点都与曲线族中一条积分曲线相切，对应的解称奇解

• 单参数曲线族$\Phi(x,y,c)=0$Φ(x,y,c)=0的包络为$\begin{cases} \Phi(x,y,c)=0\\\Phi'_c(x,y,c)=0\end{cases}${Φ(x,y,c)=0Φc′​(x,y,c)=0​消去$c$c的某一解，称c-判别曲线
• 方程$F(x,y,y')=0$F(x,y,y′)=0的奇解为$\begin{cases}F(x,y,p)=0\\F'_p(x,y,p)=0\end{cases}${F(x,y,p)=0Fp′​(x,y,p)=0​消去$p$p的某一解，称p-判别曲线
• 一般的曲线族不一定有包络，如同心圆族，平行线族

Clairaut微分方程：$y=xp+f(p),p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$y=xp+f(p),p=dxdy​，通解为直线族$y=cx+f(c)$y=cx+f(c)，包络为$\begin{cases}x+f'(p)=0\\y=xp+f(p)\end{cases}${x+f′(p)=0y=xp+f(p)​消去p