【数据结构与算法】-＞数据结构-＞堆（下）-＞堆的应用
Ⅰ 前言
在前一篇文章里，我详细讲解了堆的原理以及实现，也给出了一个堆的最容易想到的应用——堆排序，但实际上堆还有几个非常重要的应用，在软件开发中我们可能会经常用到，这篇文章我们就来看一看这几个应用。
【数据结构与算法】-＞数据结构-＞堆（上）-＞详解堆&堆排序
Ⅱ 堆的应用一：优先级队列
首先，我们来看堆的第一个应用场景——优先级队列。
优先级队列，顾名思义，它首先应该是一个队列。我们知道，队列最大的特性就是先进先出。不过，在优先级队列中，数据的出队顺序不是先进先出，而是按照优先级来，优先级最高的，最先出队。
【数据结构与算法】-＞数据结构-＞队列-＞循环数组的应用&队列工具库的创建
那么如何实现一个优先级队列呢？方法其实有很多，但是最直接、最高效的就是用堆来实现。因为堆和优先级队列非常相似，一个堆就可以看作是一个优先级队列，很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。
优先级队列的应用场景是非常多的，比如哈夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。不仅如此，很多语言中，都提供了优先级队列的实现，比如 Java 中的 PriorityQueue, C++ 的 priority_queue 等。
现在，我们来举两个具体的例子，来看优先级队列是如何使用的。
1. 合并有序小文件
假设我们有 100 个小文件，每个文件的大小都是 100 MB，每个文件中存储的都是有序的字符串。我们希望将这些 100 个小文件合并成一个有序的大文件。这里就会用到优先级队列。
整体思路有点像归并排序中的合并函数。我们从这 100 个文件中，各取第一个字符串，放入数组中，然后比较大小，把最小的那个字符串放入合并后的大文件中，并从数组中删除。
假设，这个最小的字符串来自 7.txt 这个小文件，我们就再从这个小文件取下一个字符串，放到数组中，重新比较大小，并且选择最小的放入合并后的大文件，将它从数组中删除。以此类推，直到所有的文件中的数据都放入到大文件为止。
这里我们用数组这种数据结构，来存储从小文件中取出来的字符串。每次从数组中取最小字符串，都需要遍历整个数组，显然这样并不高效。
所以这里就可以用优先级队列，也就是堆。我们将从小文件中取出来的字符串放入到小顶堆中，那堆顶的元素，也就是优先级队列队首的元素，就是最小的字符串。我们将这个字符串放入到大文件中，并将其从堆中删除。然后再从小文件中取出下一个字符串，放入到堆中。循环这个过程，就可以将 100 个小文件中的数据依次放入到大文件中。
我们知道，删除堆顶数据和往堆中插入数据的时间复杂度都是 O(logn)，n 表示堆中的数据个数，这里就是 100。是不是比原来用数组存储的效率高了很多？
2. 高性能定时器
假设我们有一个定时器，定时器中维护了很多定时任务，每个任务都设定了一个要触发执行的时间点。定时器每过一个很小的单位时间，比如 1 秒，就扫描一遍任务，看是否有任务到达设定的执行时间。如果到了，就拿出来执行。
| 定时时间 | 任务 |
|---|---|
| 2020. 9.11. 16:42 | 任务1 |
| 2020. 9.11. 17:52 | 任务2 |
| 2020. 9.11. 18:01 | 任务3 |
| 2020. 9.11. 13:15 | 任务4 |
但是，这样每过 1 秒就扫描一遍任务列表的做法比较低效，主要原因有两点：
- 任务的约定执行时间离当前时间可能还有很久，这样前面很多次扫描其实都是徒劳的；
- 每次都要扫描整个任务列表，如果任务列表很大的话，必然会很耗时。
针对这些问题，我们就可以用优先级队列来解决。我们按照任务设定的执行时间，将这些任务存储在优先级队列中，队列首部（也就是小顶堆的堆顶）存储的是最先执行的任务。
这样，定时器就不需要每隔一秒就扫描一遍任务列表了。它拿队首任务的执行时间点，与当前时间点相减，得到一个时间间隔 T。
这个时间间隔 T 就是，从当前时间开始，需要等待多久，才会有第一个任务需要被执行，这样，定时器就可以设定在 T 秒之后，再来执行任务。从当前时间点到 (T-1) 秒这段时间里，定时器都不需要做任何事情。
当 T 秒时间过去之后，定时器取优先级队列中队首的任务执行，然后再计算新的队首任务的执行时间点与当前时间点的差值，把这个值作为定时器执行下一个任务需要等待的时间。
这样，定时器就既不用间隔 1 秒就轮询一次，也不用遍历整个任务列表，性能也就提高了。
Ⅲ 堆的应用二：利用堆求 Top K
现在我们再来看堆的另外一个非常重要的应用场景，那就是求 Top K 问题。
我们把这种求 Top K 的问题抽象成两类，一类是静态数据集合，也就是说数据集合事先确定，不会再变。另一类是针对动态数据集合，也就是说数据集合事先并不确定，有数据动态地加入到集合中。
针对静态数据，如何在一个包含 n 个数据的数组中，查找前 K 大数据呢？我们可以维护一个大小为 K 的小顶堆，顺序遍历数组，从数组中取出数据与堆顶元素比较。如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且将这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理，继续遍历数组。这样等数组中的数据都遍历完之后，堆中的数据就是前 K 大数据了。
遍历数组需要 O(n) 的时间复杂度，一次堆化操作需要 O(logK) 的时间复杂度，所以最坏情况下，n 个元素都入堆一次，时间复杂度就是 O(nlogK)。
针对动态数据求得 Top K 就是实时 Top K。比如一个数据集合中有两个操作，一个是添加数据，另一个询问当前的前 K 大数据。
如果每次询问前 K 大数据，我们都基于当前的数据重新计算的话，那时间复杂度就是 O(nlogK)，n 表示当前的数据的大小。实际上，我们可以一直都维护一个 K 大小的小顶堆，当有数据被添加到集合中时，我们就拿它与堆顶元素对比，如果比堆顶元素大，我们就把堆顶元素删除，并且把这个元素插入到堆中；如果比堆顶元素小，则不做处理。
这样，无论我们何时需要查询当前的前 K 大数据，我们都可以立刻返回给他。
Ⅳ 堆的应用三：利用堆求中位数
中位数相信大家都清楚，就是处在中间位置的那个数嘛。假定下标是从 0 开始排列的，如果数据的个数是奇数，把数据从小到大排列，那第 n/2 + 1 个数据就是中位数；如果数据的个数是偶数的话，那处于中间位置的数据有两个，第 n/2 个和第 n/2 +1 个数据，这个时候，我们可以随意取一个作为中位数，比如取两个数中靠前的那个，就是第 n/2 个数据。
对于一组静态数据，中位数是固定的，我们可以先排序，第 n/2 个数据就是中位数。每次询问中位数的时候，我们直接返回这个固定的值就好了。
但是，如果我们再对动态数据操作的话，因为中位数在不停地变动，如果再用先排序的方法，每次询问中位数的时候都要先进行排序，那效率就会很低。
借助堆这种数据结构，我们不用排序，就可以非常高效地实现求中位数操作。
我们需要维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。大顶堆中存储前半部分数据，小顶堆中存储后半部分数据，且小顶堆中的数据都大于大顶堆中的数据。
也就是说，如果有 n 个数据，n 是偶数，我们从小到大排序，那前 n/2 个数据存储在大顶堆中， 后 n/2 个数据存储在小顶堆中。这样，大顶堆中的堆顶元素就是我们要找的中位数。如果 n 是奇数，情况是类似的，大顶堆就存储 n/2+1 个数据，小顶堆就存储 n/2 个数据。
数据因为是动态变化的，所以我们在数据加入之后也要对堆做个调整。如果新加入的数据小于等于大顶堆的堆顶元素，我们就将这个新数据插入到大顶堆；否则，我们就将这个新数据插入到小顶堆。
这个时候，就有可能出现，两个堆中的数据个数不符合前面约定的情况：如果n 是偶数，前 n/2 个数据存储在大顶堆中， 后 n/2 个数据存储在小顶堆中。如果 n 是奇数，大顶堆就存储 n/2+1 个数据，小顶堆就存储 n/2 个数据。
那么我们可以从一个堆中不停地将堆顶元素移动到另一个堆中，通过这样的调整，来让两个堆中的数据满足上面的约定。
于是，我们可以利用两个堆，一个大顶堆、一个小顶堆，实现在动态数据集合中求中位数的操作。插入数据因为需要涉及堆化，所以时间复杂度变成了 O(logn)，但是求中位数我们只需要返回大顶堆的堆顶元素就可以了，所以时间复杂度就是 O(1)。
实际上，利用两个堆不仅可以快速求出中位数，还可以快速求其他百分位的数据，比如我们要解决“快速求接口的 99% 响应时间”的问题。
我先解释一下什么是 “99% 响应时间”。
中位数概念就是将数据从小到大排列，处于中间位置，就叫中位数，这个数据会大于等于前面 50% 的数据。99 百分位数的概念可以类比中位数，如果将一组数据从小到大排列，这个 99 百分位数就是大于前面 99% 数据的那个数据。
如果你还有点模糊，我再举一个例子，比如有 100 个数据，分别是 1，2，3，……，100，那 99 百分位数就是 99，因为小于等于 99 的数占总数的 99%。
知道了这个概念，我们再来看看 99% 响应时间。如果有 100 个接口访问请求，每个接口请求的响应时间都不同，比如 55 毫秒、100 毫秒、23 毫秒等，我们把这 100 个接口的响应时间按照从小到大排列，排在第 99 的那个数据就是 99% 响应时间，也叫 99 百分位响应时间。
我们总结一下，如果有 n 个数据，将数据从小到大排列之后，99 百分位数大约就是第 n99% 个数据，同理，80 百分位数大约就是第 n80% 个数据。
接下来我们来看看如何求 99% 响应时间。
我们维护两个堆，一个大顶堆，一个小顶堆。假设当前总数据的个数是 n，大顶堆中保存 n99% 个数据，小顶堆中保存 n1% 个数据。大顶堆堆顶的数据就是我们要找的 99% 响应时间。
每次插入一个数据的时候，我们要判断这个数据跟大顶堆和小顶堆堆顶数据的关系，然后决定插入到哪个堆中。如果这个新插入的数据比大顶堆的堆顶数据小，那就插入大顶堆；如果这个新插入的数据比小顶堆的堆顶数据大，那就插入小顶堆。
但是，为了保持大顶堆中的数据占 99%，小顶堆中的数据占 1%，在每次新插入数据之后，我们都要重新计算，这个时候大顶堆和小顶堆中的数据个数，是否还符合 99 : 1 这个比例。如果不符合，我们就将一个堆中的数据移动到另一个堆，直到满足这个比例。移动的方法类似前面求中位数的方法，我不再赘述。
通过这样的方法，每次插入数据，可能会涉及几个数据的堆化操作，所以时间复杂度是 O(logn) 。每次求 99% 响应时间的时候，直接返回大顶堆中的堆顶数据即可，时间复杂度是 O(1)。
另，本文的内容来源于极客时间王争的《数据结构与算法之美》。