借此了解微积分的本质，以此补全数学之源以及数学之用的空缺。参考《托马斯微积分》和b站《微积分的本质》

1  从圆的面积说起

1.1 问题

  古时候，人们想要知道圆的面积是多少？那么可以由几种方案，一种是把圆铺开，一种是把一个圆分成很多很多个圆环再

求和。这种思想就是微积分的来源。

形如上图，我们把圆铺开，其长度就是圆周长，其宽是dr，dr取的越小，自然也就越精确。

而把圆变成很多个环的话，每个环铺开是一个长方形，将这些长方形的面积累加起来即可。如下图

当dr取的越小越精确，自然就得到了三角形面积为圆面积的近似。我们似乎解决求出圆的面积问题，是一个更近似的过程。但数学家不会，数学家借助解决一个问题，他们希望解决一类问题，发展处解决这一类的问题的工具微积分应运而生。它的思想就是一句话

将所要实际问题的东西切分成一个很小很小的块，然后求和。

比如非匀速汽车的行驶路程和时间关系，借助一个例子

我们想要知道这个函数的面积，那么利用微积分思想，其可以切分近似。

 

2  导数的悖论

 当我们讨论导数时，我们不是在讨论"瞬时速率“，我们在讨论在一个极小的地方的变换率。比如汽车的行驶速度和时间以及路程的函数中

，

速度与时间的函数面积就是其路程，我们会遇到很多很多这样的问题。

 比如在网络传播中，我们知道感染速度和感染时间的函数，那么其函数底下面积就是感染人数。感染速度越快，其感染人数越多，和上图是一样的逻辑，只不过在网络上比较不好近似得到其函数关系，只能够利用较强的假设得到。

导数的标准定义是：dr极小的变化率

3 求导的几何意义

 

利用导数的标准定义，再采取一个x平方的小例子。我们可以得到求导的几何直观理解，在上图中，x的增加成为x+dx，那么其函数值增加为两个小长方形+一个小正方形。小正方形因为包含dx而约去，两个小长方形面积为2xdx，约去dx，就是留下来的导数2x了。

4 求导的种类

所有的求导依据导数标准定义都有其几何方面的理解，求导主要由加，乘，复合三种基本运算直至所有的求导运算，只需要掌握这三种的本质几何解释，其它求导都是一样的。类似于线性代数，只需要理解向量及其加和数乘运算，其他都是一样的。

下面看下求导的加法法则几何理解，（从两个函数根据dx变化之和理解）

 

下面是求导的乘法法则几何理解。(从两个函数依据dx变化的面积考虑）

下面是求导的复合法则几何理解。(从两个函数依据dx变化的复合考虑）

 

7  极限

 

这就是导数的定义，导数帮我们得到极限，而极限可以帮助我们计算导数。极限，强调的是趋于该点周围附近的取值，而是该点取值。

 

8 微积分基本定理