微积分

一、向量的模、方向角、投影

1. 向量的模与两点间的距离公式

向量的模：$|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$∣r∣=x2+y2+z2​

两点间的距离公式：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$∣AB∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

2. 方向角和方向余弦

方向角：非零向量 $r$r 与各坐标轴之间的夹角。用 $\alpha$α，$\beta$β，$\gamma$γ，$\dots$… 表示。

方向余弦：方向角的余弦值。设 $\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$OM=(x,y,z)，则有，$\cos\alpha=\frac{x}{|OM|}$cosα=∣OM∣x​，$\cos\beta=\frac{y}{|OM|}$cosβ=∣OM∣y​，$\cos\gamma=\frac{z}{|OM|}$cosγ=∣OM∣z​

$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\frac{1}{|OM|}(x,y,z)=\frac{\overrightarrow{OM}}{|OM|}=\overrightarrow{e}_{OM}$(cosα,cosβ,cosγ)=∣OM∣1​(x,y,z)=∣OM∣OM​=eOM​

并且有，$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$cos2α+cos2β+cos2γ=1

3. 投影

向量在坐标轴上的投影：向量 $a$a 在坐标系中的坐标就是向量在对应坐标轴上的投影。$a$a 在 $x$x 轴上的投影，记作 $\text{Prj}_x a$Prjx​a 。

二、数量积 向量积 混合积

给定两向量 $a$a 和 $b$b，$\theta$θ 为两向量的夹角，

1. 数量积

数量积是一个数。

数量积：$a \cdot b=|a| |b|\cos\theta=|a|\text{Prj}_ab$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=∣a∣Prja​b

数量积的坐标表达式：$a \cdot b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$a⋅b=ax​bx​+ay​by​+az​bz​

推导过程：

2. 向量积

向量积是一个向量。

给定向量 $c$c，其模，即 $|c|=|a||b|\sin\theta$∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ，其方向垂直于 $a$a 和 $b$b 所在的平面，其指向由右手规则确定。$c$c 就是 $a$a 与 $b$b 的向量积。

向量积：$c=a\times b$c=a×b

向量积的坐标表达式：$a\times b=\left|\begin{array}{lll} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right|$a×b=∣∣∣∣∣∣​iax​bx​​jay​by​​kaz​bz​​∣∣∣∣∣∣​

上式推导过程与数量积的坐标表达式类似。

三、平面及其方程

1. 曲面方程与空间曲线方程

曲面方程：$F(x,y,z)=0$F(x,y,z)=0

空间曲线方程：
$F(x,y,z)=0$F(x,y,z)=0
$G(x,y,z)=0$G(x,y,z)=0

空间曲线可看作两个曲面的交线。