周期信号的傅里叶级数

1 周期信号三角形式的傅里叶级数

1.1 三角形式的傅里叶级数

【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数

设周期信号 f ( t ) f(t) f(t)，其周期为 T T T，角频率 Ω = 2 π / T \Omega=2\pi/T Ω=2π/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可展开为三角形式的傅里叶级数。
【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数

系数 a n , b n a_n, b_n an,bn称为傅里叶系数。

由
【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数
得到 a n , b n a_n,b_n an,bn：

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注意：积分区间不一定要 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T,2T]，只要是个整周期区间就行，比如 [ 0 , T ] [0,T] [0,T]

a 0 2 ： \frac{a_0}{2}： 2a0：使得 a 0 a_0 a0可以包含在 a n a_n an里面。 n = 0 n=0 n=0时， b 0 ⋅ s i n ( 0 Ω t ) = 0 b_0\cdot sin(0\Omega t)=0 b0⋅sin(0Ωt)=0

1.2 狄里赫利(Dirichlet)条件

条件1：在一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点(间断点左右极限都存在)；
如：
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条件2：在一个周期内，函数极大值和极小值的数目应为有限个；
反例：
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条件3：在一个周期内，函数绝对可积。
反例：

1.3 .余弦形式的傅里叶级数

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含义：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。

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1.4 吉布斯现象

用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时，在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。超调量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少。

当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉布斯现象。

2 周期信号波形对称性和谐波特性

2.1 f ( t ) f(t) f(t)为偶函数——对称于纵轴 f ( t ) = f ( − t ) f(t) =f(-t) f(t)=f(−t)

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f ( t ) f(t) f(t)为偶函数， s i n ( n Ω t ) sin(n\Omega t) sin(nΩt)为奇函数，偶函数乘奇函数是奇函数，在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T,2T]积分为零。

2.2 f ( t ) f(t) f(t)为奇函数——对称于原点 f ( t ) = − f ( − t ) f(t) =-f(-t) f(t)=−f(−t)

【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数
f ( t ) f(t) f(t)为奇函数， c o s ( n Ω t ) cos(n\Omega t) cos(nΩt)为偶函数，奇函数乘偶函数是奇函数，在 [ − T 2 , T 2 ] [-\frac{T}{2},\frac{T}{2}] [−2T,2T]积分为零。

2.3 f ( t ) f(t) f(t)为奇谐函数—— f ( t ) = – f ( t ± T / 2 ) f(t) = –f(t±T/2) f(t)=–f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量，即：
【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数

2.4 f ( t ) f(t) f(t)为偶谐函数—— f ( t ) = f ( t ± T / 2 ) f(t) = f(t±T/2) f(t)=f(t±T/2)

其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即
【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数

c o s ( 0 ) = 1 cos(0)=1 cos(0)=1

偶协函数可以看成周期为 T / 2 T/2 T/2，则基波频率为 Ω ′ = 2 π / ( T / 2 ) = 4 Ω \Omega'=2\pi/(T/2)=4\Omega Ω′=2π/(T/2)=4Ω。

3 指数形式的傅里叶级数

欧拉公式： c o s x = e i x + e − i x 2 cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} cosx=2eix+e−ix
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。

【信号与系统】（十三）傅里叶变换与频域分析——周期信号的傅里叶级数

A n ， φ n A_n，\varphi_n An，φn为偶函数， a n a_n an为偶， b n b_n bn为奇， b n / a n b_n/a_n bn/an为奇， a r c t a n arctan arctan为奇， a r c t a n 奇 arctan奇 arctan奇为偶。