《信号与系统学习笔记》—周期信号的博里叶级数表示（二）

注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。

一、离散时间周期信号的博里叶级数表示

1、一个离散时间周期洗你号的博里叶级数是有限项级数，而在连续时间周期情况下是一个无穷级数。

一）、成谐波关系的复指数信号的线性组合

1、复指数是周期的，周期为N。而且，由下式

给出的所有离散时间复指数信号的集合都是周期的，且周期为N。中的全部信号，其基波频率都是2π/N的倍数，因此他们之间成谐波关系的。上式给出的信号集合中只有N个信号是不同的，具体而言，以及一般关系为

当k变化一个N的倍数时，就得到一个完全一样的序列。

2、利用

中的序列的线性组合来表示更为一般的周期序列，这样一个线性组合就有如下形式：

序列只在k的N个相继值得区间上是不同的，因此上式的求和仅仅需要包括N项。于是上式的切合是当k在N个相继整数的区间上变化时，从任意k值开始对k进行的。为了之处这一点，特将求和限表示成k=<N>,即

上式称为离散时间博里叶级数，二系数ak则称为博里叶系数。

二）、周期洗你号博里叶级数表示的确定

1、离散时间博里叶级数对的推导

2、离散时间博里叶级数对如下

其中前一个式子称为综合工时，后一个工时称为分析公式。ak称为频谱系数。

3、若k去任何一组N个相连的整数，则有

这就是说，假设考虑的k值多于N个，那么ak的值必定一N位周期，周期性重复。

4、离散时间博里叶级数另一种表达式

x{N]是一个周期为N的实周期洗你号，其附属博里叶级数系数为ak，设ak用笛卡尔坐标表示为

其中bk和ck都是实数。

1）、若N为奇数，则有

若为偶数，则有

2）、若ak的极坐标为，那么x[n]的博里叶级数表示也能写成如下形式

若N为奇数

若N为偶数，则有

5、与连续时间情况相比，离散时间不存在任何收敛问题，也没有吉伯斯现象。

二、离散时间博里叶级数性质

1、离散时间博里叶级数性质

2、若x[n]是一个周期信号，周期为N，其博里叶级数系数记为ak，那么就写成

一）、相乘

在离散时间情况下，假设

都是周期的，切周期为N，那么乘积x[n]y[n]也是一个周期为N的周期序列。其博里叶系数dk为

上面这种类型的运算称为两个周期的博里叶系数序列之间的周期卷积，二求和变量从-∞到∞这种卷积和的形式就称为非周期卷积，以区别于周期卷积。

二）、一次差分

若

则对应于x[n]一次差分的博里叶系数可表示成

三）、离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理

1、Lisa年时间周期洗你号的帕斯瓦尔定理是

其中ak是x[n]的博里叶级数系数，N是周期。上式左边是x[n]在一个周期内的平均功率，而是x[n]的第k此谐波的平均功率。

三、博里叶级数与线性时不变系统

1、一个线性时不变系统对一组指数洗你号的线性组合的响应具有特别简单的形式

1）、在连续时间情况下，若x(t)=est是一个连续时间线性时不变系统的输入，那么其输出就为y(t)=H(s)est，其中H(s)由下式

给出，其中h(t)是该线性时不变系统的单位冲激响应。

2）、在离散时间情况下，若x[n]=zn是一个离散时间线性时不变系统的输入，那么其输出就为y[n]=H[z]zn，其中H(z)由下式

给出，其中h[k]是该线性时不变系统的单位脉冲响应。

2、当s或z十一班复数是，H(s)和H(z)就称为该系统的系统函数。

1）、对于连续时间信号与系统而言，现在考虑是的RE{s}=0这一种特殊情况，这样s=jw，est就具有ejwt的形式。这个输入时在频率w上的一个复指数。具有s=jw的系统函数[即H(jw)备案看成w的函数]就称为该系统的品路响应，它由侠士给出：

2）、对于离散时间信号与系统而言。现在考虑的是|z|=1的z值上，这样z=ejw，zn就具有ejwn的形式。对z局限在z=ejw形式的系统函数H(z)称为该系统的频率响应，它由下式给出：

3、利用系统的频率响应来表示一个线性时不变系统，对ejwt（连续时间）或ejwn（离散时间）这种形式的复指数洗你号的响应是特别简单的；而且，由于线性时不变系统具有叠加性质，因此一个线性时不变系统对复指数信号线性组合的响应也同样是简单和容易表示的。

4、对于连续时间情况。令x(t)为一个周期洗你号，其博里叶级数表示为

假设奖盖信号加入单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统作为他的输入，那么其输出是

于是y(t)也是周期的，且与x(t)有相同的基波频率。而且，若{ak}是}输入x(t)的一组博里叶级数系数，那么{akH(jkw0)}就是输出y(t)的一组博里叶级数系数。这就是说，线性时不变系统的作用就是通过乘以相应频率相应点上的频率响应值来逐个改变输入输入信号的每一个博里叶系数。

5、在离散时间情况下，令x[n]为一个周期洗你号，其博里叶级数表示为

若将该洗你号加入单位脉冲响应为h[n]的线性时不变系统作为它的输入，那么输出就是

于是y[n]也是周期的，且与x[n]右相同的周期，y[n]的第k个博里叶系数就是输入的第k个博里叶系数与该系统在对应频率上的频率响应值的乘积。