傅里叶级数及傅里叶变换

通信中的信号通常是时间的函数。

下面通过强度、频率、相位、能量来了解信号（正如通过人的五官去了解人）：

正弦信号：

周期信号的傅里叶级数：

用正弦信号逼近方波：

如下图：船的振荡频率为 ，跷跷板的频率为 ，小女孩的玩具的振荡频率为 ，如果排列合理的话，三者的波形能合成类似于方波的样子，且此频率规律的正弦波越多，合成波形越接近方波。

事实上，任何周期信号都能够由不同谐波的正弦波叠加而成，这由傅里叶发现，因此称之为傅里叶级数，如下图：

 

由复指数和正弦函数的关系，即欧拉公式可知，上式还可以如下表示：

如此以来应用更加方便；

下图为信号的频谱图：

其中a0, a1, a2, ..., 称之为傅里叶系数，信号x(t)的频谱系数，以及谐波的幅度；频谱系数表示各频率分量在总信号中所占的分量。在频谱图中可以看出，频谱系数可以表示各频率分量的强度。

综上所述，周期信号的频谱是离散谱。

非周期信号的傅里叶变换：

傅里叶认为，既然周期信号可以用正弦信号来表示，那么非周期信号也可以用正弦信号来逼近。原因是非周期信号可以看成是周期无限大的周期信号；事实证明，傅里叶的想法是对的，于是才有了大名鼎鼎的傅里叶变换。

如下图示：解释周期无限扩大后，傅里叶级数如何表示；

周期和频率成反比的关系，周期无限变大，频率间隔就会无限减小，逼近连续：

这种逼近连续的叠加，在数学上用积分表示：

形象解释积分：

例如求一个不规则的图像的面积，就要将不规则的图形分解为规则的图像进行面积叠加：

分的越细，求解越精确：

积分的意义就是把对象分得无限小再求和，分的过程叫微分，加的过程叫积分。

下面比较傅里叶级数和傅里叶变换：我们关心的是红圈部分；

著名的傅里叶变换和反变换公式：

通信中常用的信号：

正弦信号，方波信号，周期冲击串的作用：

正弦信号往往作为调制的载波出现：

方波信号是大多数数字信号的波形：

而冲击串往往作为采样信号，在模拟信号转换为数字信号的过程中扮演着重要的角色：

三者合起来的过程：模拟信号经过采样等过程变成数字信号，数字信号进行调制得到调制信号；

常见信号的频谱：

余弦信号的频谱，正弦信号的频谱：

周期方波的频谱：

方波周期无限扩大时，得到非周期方波的频谱：

冲击串的频谱：

用卷积解决两信号相乘的傅里叶变换：

时域相乘，频域卷积：

卷积定义：卷积是一种运算，如下的移位相乘再求和的过程；

例解卷积：

卷积的估算：

连续信号的卷积：

模拟信号之间卷积后，左右频率分别为原来的频率值相加，从图上看，频谱扩展了，这也是扩频通信的基本原理。