傅里叶级数、傅里叶变换简记

傅里叶级数（Fourier series）

任何周期函数都可以写成三角函数之和

①

首先常函数也是周期函数，且其周期是任意实数，分解可能需要它

②

任意函数都可以分解为奇偶函数之和

sin(x)$sin(x)$和cos(x)$cos(x)$是奇函数和偶函数

③

f(x)$f(x)$周期为T，sin(2πnTx)$sin(\frac{2\pi n}{T}x)$，cos(2πnTx)$cos(\frac{2\pi n}{T}x)$，n∈N$n\in \mathbb{N}$ 这些函数周期都可以为T

通过调整这一堆周期函数的振幅，再加上常函数，就可以组合成f(x)$f(x)$

下面问题是如何确定C,an,bn$C,a_n,b_n$

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借助复数，我们可以更简洁地表达一些东西，尤其涉及到旋转操作 ，下面对其做一些介绍

首先，先考虑复平面上的eit$e^{it}$

很自然,t每过2π$2\pi$旋转一圈

加个w$w$，即eiwt$e^{iwt}$ ，改变旋转的周期

把虚部展开（时域），就是t∼sin(wt)$t\sim sin(wt)$的图像

总的来说，可以将eiwt,sin(wt),cos(wt)$e^{iwt},sin(wt),cos(wt)$视为向量

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现在假设有函数g(t)=sin(t)+sin(2t)$g(t)=sin(t)+sin(2t)$

先介绍向量点积

函数向量点积的定义是f(x)⋅g(x)=∫T0f(x)g(x)dx$f(x)\cdot g(x)={\int }_0^{T}f(x)g(x)dx$

其中T是周期

根据点积的定义，可以得到sin(t)∗sin(2t)=∫2π0sin(t)sin(2t)=0$sin(t)\ast sin(2t)={\int }_0^{2\pi }sin(t)sin(2t)=0$

由点积的几何意义，说明了这两个函数向量线性无关，是正交基

于是可以将g(t)$g(t)$理解成g(t)=1∗sin(t)+1∗sin(2t)$g(t)=1\ast sin(t)+1\ast sin(2t)$

即在该正交基下坐标是(1,1)

如何求正交基坐标呢？

再看个例子，假设w⃗ =2u⃗ +3v⃗ $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$

其中u⃗ =(−11)$\overrightarrow{u}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{1})$ v⃗ =(11)$\overrightarrow{v}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})$ 显然这两个向量是正交基

w的在基下的坐标为(2,3)

计算方法是（以在基u⃗ $\overrightarrow{u}$示例）

上面方法可以类比到sin(nt)$sin(nt)$

g(t)=sin(t)+sin(2t)$g(t)=sin(t)+sin(2t)$

g(t)$g(t)$在sin(t)$sin(t)$下的坐标为

更一般的

即

也就是说向量f(x)$f(x)$是以下正交基的线性组合：（注意不是3个额，n越大，拟合越精确）

于是可以得到

C$C$也可以通过点积求出

即C=a0/2$C=a_0/2$

即最终结果为

其中

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上面的傅里叶级数，可以写成复数的形式

根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

可以推出

可以写出傅立叶级数的另外一种形式：

其中

解读：

对于复数函数，定义的点积为：

其中， 为复数函数， 是 的共轭，所以 的代数表达式中有一个负号。

这样定义点积是为了保证：

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傅里叶级数的拟合

n越大，更高频率的函数参与，拟合度越高

频域图高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量

傅里叶变换（Fourier transform）

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参考：马同学 3Blue1Brown