拉普拉斯变换了解一下—复变函数与积分变换学习笔记

What is 拉普拉斯变换？
先放一张Matlab绘制的很有立体感的图，我们后面会了解。

初学时我可看不大明白，因为得先明白什么是傅里叶变换，再放图

傅里叶变换的真理就是任何一个原始的周期性（非周期性可以在T趋于$\infty$∞时变成周期性）函数，可以由多个正余弦波叠加来近似。它实质是是频域函数和时域函数的转换

一.
引入拉氏变换的实际背景：
傅氏变换必须在整个实轴上有定义，但在工程实际问题中，许多以时间t为自变量的函数在时间t<0时是无意义的。通常在信号与系统中用到的就是这种单边拉普拉斯变换（有时也将t=0_考虑进去），也就是因果信号（含有输入信号和输出信号的信号系统）的拉氏变换。

1.1定义
傅里叶正变换：

$F(ω)$F(ω) = $\mathscr{F}[f(t)]$F[f(t)] = $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jωt}dt$∫−∞+∞​f(t)e−jωtdt

在傅氏变换的基础上，去掉t<0时的实轴范围，并对于复参数s=β+jω,
则有积分：

$F(S)$F(S) = $\mathscr{L}[f(t)]$L[f(t)] = $\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt$∫0+∞​f(t)e−stdt

我们称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换
反之f(t)是F(s)的拉普拉斯逆变换

例：

我们引入一个单位阶跃函数 $u(t)$u(t)（初学复变时做题经常不认识了的函数），来求她的拉氏变换。

得
$\mathscr{L}[u(t)]=\int_0^{+\infty}u(t)e^{-st}dt=\frac{1}{s}\qquad(Re s > 0)$L[u(t)]=∫0+∞​u(t)e−stdt=s1​(Res>0)
用数形结合来表示：

图中彩色螺旋即$e^{-st}$e−st，现在令$f(t)=u(t)$f(t)=u(t)，用阶跃函数来乘$e^{-st}$e−st
得出来的结果如图

这时再取积分就得到了如下图中白色箭头所指的值$\frac{1}{s}$s1​，也就是特定值s的拉普拉斯变换值。

但如果这个积分的结果是无限，那么我们就认为该特定值为s时，函数的波形不存在拉普拉斯变换，因为当s的实部为一个趋于无穷小的负数，则会出现这样的情况

积分结果将会是无穷大，所以去掉s < 0的区域，这样一来一开始的那张图就变成了

这就是为什么积分下限换成从0到无穷大。

1.2与傅氏变换的关系

通过刚才引入的阶跃函数$u(t)$u(t)我们就能将积分上下限换为负无穷到正无穷，并找到拉氏变换和傅氏变换的关系了。
即
$F(S)$F(S) $=$= $\mathscr{L}[f(t)]$L[f(t)] $=$= $\int_0^{+\infty} f(t)e^{-st}dt$∫0+∞​f(t)e−stdt = $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)u(t)e^{-βt}·e^{-jωt}dt$∫−∞+∞​f(t)u(t)e−βt⋅e−jωtdt$\qquad$ (1)
$\,\,\,\,\,\,\,\,\quad$$=$= $F(β+jω)$F(β+jω) $=$= $\mathscr{L}[f(t)u(t)e^{-βt}]$L[f(t)u(t)e−βt] $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

傅里叶逆变换：

$f(t)$f(t) $=$= $\frac{1} {2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jωt}dω$2π1​∫−∞+∞​F(ω)ejωtdω

将式1代入傅氏逆变换有

$f(t)u(t)e^{-βt}=\frac{1}{2π}\int_{-\infty}^{+\infty}F(β+jω)e^{jωt}dω$f(t)u(t)e−βt=2π1​∫−∞+∞​F(β+jω)ejωtdω

两边同乘$e^{jωt}$ejωt，并令s=β+jω
则有

$f(t)u(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds$f(t)u(t)=2πj1​∫β−j∞β+j∞​F(s)estds

阶跃函数u(t)也就是t>0式为1，去掉

即拉普拉斯变换的反演积分公式 $f(t)=\frac{1}{2πj}\int_{β-j\infty}^{β+j\infty}F(s)e^{st}ds$f(t)=2πj1​∫β−j∞β+j∞​F(s)estds$\qquad(t>0)$(t>0)

二.
总结一些重要性质

2.1 线性性质

$\mathscr{L}[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)$L[αf(t)+βg(t)]=αF(s)+βG(s)

$\mathscr{L}^{-1}[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)$L−1[αF(t)+βG(t)]=αf(t)+βg(t)

应用：可以快速求解$\cosωt$cosωt和$\sinωt$sinωt的拉氏变换

2.2 相似性质

$\mathscr{L}[f(αt)]=\frac{1}{α}F(\frac{s}{α})$L[f(αt)]=α1​F(αs​)

2.3 微分性质

$\mathscr{L}[f'(t)]=sF(s)-f(0)$L[f′(t)]=sF(s)−f(0)

$\mathscr{L}[f^{(n)}(t)]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\,···\,-f^{(n-1)}(0)$L[f(n)(t)]=snF(s)−sn−1f(0)−sn−2f′(0)−⋅⋅⋅−f(n−1)(0)

应用：求解微分方程组的初值问题；求解幂函数$f(t)=t^m$f(t)=tm之类的拉氏变换

2.4 像函数的导函数

$F'(s)=-\mathscr{L}[tf(t)]$F′(s)=−L[tf(t)]
$F^{(n)}(s)=(-1)^{n}\,\mathscr{L}[t^nf(t)]$F(n)(s)=(−1)nL[tnf(t)]

应用：求$t\sinωt$tsinωt、$t^2cos^2t$t2cos2t之类的拉氏变换

2.5 积分性质

$\mathscr{L}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s}F(s)$L[∫0t​f(t)dt]=s1​F(s)

$\mathscr{L}{\int_0^tdt}{\int_0^tdt\,···\,}[\int_0^tf(t)dt]=\frac{1}{s^n}F(s)$L∫0t​dt∫0t​dt⋅⋅⋅[∫0t​f(t)dt]=sn1​F(s)

应用：求函数$f(t)=\frac{sint}{t}$f(t)=tsint​之类的拉氏变换，当式中s取一些确定的数，可以用来求一些函数的反常积分（广义积分（也就高数上考的最多的积分））

2.6 像函数的积分

$\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t}]$∫s∞​F(s)ds=L[tf(t)​]

$\int_s^\infty ds\int_s^\infty ds\,···\,\int_s^\infty F(s)ds=\mathscr{L}[\frac{f(t)}{t^n}]$∫s∞​ds∫s∞​ds⋅⋅⋅∫s∞​F(s)ds=L[tnf(t)​]

2.7 延迟性质与位移性质

$\mathscr{L}[f(t-τ)]=e^{-sτ}F(s)$L[f(t−τ)]=e−sτF(s)

应用：顾名思义可以用来求$\sin(t-\frac{\pi}{2})$sin(t−2π​)之类的拉氏变换，解出来就是辣个答案

三.
基本的数学概念了解了后，再接触一点拉氏变换的物理意义。
我们已经知道傅氏变换将信号分成时域和频域两个方面，而拉氏变换将频率ω变成复频率s,从而不仅能刻画函数的振荡频率，而且还能描述振荡频率的增长（或衰减）速度，这也是拉氏变换和傅氏变换的区别。

s的虚部越大，振荡频率增长得越快。

s的实部越大，波形振荡幅度越大。

References:
[1]复变函数与积分变换（第五版）
[2]直观解释-拉普拉斯变换 https://www.bilibili.com/video/av26328393?from=search&seid=14296184891945561564