【复变函数与积分变换】01. 复数与复平面
1 复数与复平面
1.1 复数及其表示
代数形式：
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy
-
实数 x x x 和 y y y 分别称为复数 z z z 的实部和虚部，记为 x = R e ( z ) x={\rm Re}(z) x=Re(z) 和 y = I m ( z ) y={\rm Im}(z) y=Im(z)。
-
复数 z ˉ = x − i y \bar{z}=x-iy zˉ=x−iy 称为复数 z z z 的共轭。
-
两个复数相等 ⟺ \iff ⟺ 实部和虚部都相等。
欧拉公式：
e
i
θ
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
e^{i\theta}={\rm cos}\,\theta+i\,{\rm sin}\,\theta
eiθ=cosθ+isinθ
指数形式和三角形式：
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
=
r
e
i
θ
z=r({\rm cos}\,\theta+i\,{\rm sin}\,\theta)=re^{i\theta}
z=r(cosθ+isinθ)=reiθ
-
复数 z z z 的模： r = x 2 + y 2 = ∣ z ∣ r=\sqrt{x^2+y^2}=|z| r=x2+y2 =∣z∣
-
复数 z z z 的辐角： θ = A r g z \theta={\rm Arg}\,z θ=Argz
辐角函数 A r g z {\rm Arg}\, z Argz
- 任意非零复数 z z z 有无穷多个辐角，其中落在 ( − π , π ] (-\pi,\,\pi] (−π,π] 的辐角 θ 0 \theta_0 θ0 称为 A r g z {\rm Arg}\, z Argz 的主值： θ 0 = a r g z \theta_0={\rm arg}\,z θ0=argz 。
θ = A r g z = θ 0 + 2 k π = a r g z + 2 k π ( k = 0 , ± 1. ± 2 , . . . ) \theta={\rm Arg}\,z=\theta_0+2k\pi={\rm arg}\,z+2k\pi\ \ \ \ (k=0,\pm1.\pm2,...) θ=Argz=θ0+2kπ=argz+2kπ (k=0,±1.±2,...)
- 当 z ≠ 0 z\neq0 z=0 时， a r g z {\rm arg}\,z argz 的计算方法：
a r g z = { a r c t a n ( y / x ) , z 在第一、四象限 π + a r c t a n ( y / x ) , z 在第二象限 − π + a r c t a n ( y / x ) , z 在第三象限 {\rm arg}\,z=\left\{ \begin{array}{rcl} {\rm arctan}\,(y/x) &, &z\,\text{在第一、四象限} \\ \pi+{\rm arctan}\,(y/x) &, &z\,\text{在第二象限} \\ -\pi+{\rm arctan}\,(y/x) &, &z\,\text{在第三象限} \\ \end{array} \right. argz=⎩⎨⎧arctan(y/x)π+arctan(y/x)−π+arctan(y/x),,,z在第一、四象限z在第二象限z在第三象限
1.2 复数运算的注意事项
乘积的辐角等于辐角之和：
A
r
g
z
1
z
2
=
A
r
g
z
1
+
A
r
g
z
2
{\rm Arg}\,z_1z_2={\rm Arg}\,z_1+{\rm Arg}\,z_2
Argz1z2=Argz1+Argz2
- 等式的两边都是无限集合，两边的集合相等，即对于等式左边的任意一个值，等式右边必定有一个值与之相对应，反之亦然。
- 不能写成 a r g z 1 z 2 = a r g z 1 + a r g z 2 {\rm arg}\,z_1z_2={\rm arg}\,z_1+{\rm arg}\,z_2 argz1z2=argz1+argz2 ，该式一般不成立。
De Moivre 公式：
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
n
=
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
({\rm cos}\,\theta+i\,{\rm sin}\,\theta)^n={\rm cos}\,n\theta+i\,{\rm sin}\,n\theta
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
设
z
=
r
e
i
θ
z=re^{i\theta}
z=reiθ ，若复数
w
w
w 满足
w
n
=
z
w^n=z
wn=z ，则称
w
w
w 为
z
z
z 的
n
n
n 次方根，记为
w
=
z
n
w=\displaystyle\sqrt[n]{z}
w=nz
。
将
w
w
w 写成指数形式
w
=
ρ
e
i
φ
w=\rho e^{i\varphi}
w=ρeiφ，对下面等式两边同时取
n
n
n 次方，则有
w
n
=
ρ
n
e
i
n
φ
=
r
e
i
θ
w^n=\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}
wn=ρneinφ=reiθ
解得
{
ρ
=
r
n
φ
=
θ
0
+
2
k
π
n
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
,
n
−
1
\left\{ \begin{array}{l} \rho=\displaystyle\sqrt[n]{r} \\ \varphi=\displaystyle\frac{{\theta_0+2k\pi}}{n}\ \ ,\ \ \ \ k=0,1,...,n-1 \end{array} \right.
{ρ=nr
φ=nθ0+2kπ , k=0,1,...,n−1
w k = r n e i θ 0 + 2 k π n , k = 0 , 1 , . . . , n − 1 w_k=\sqrt[n]{r}\,e^{i\frac{\theta_0+2k\pi}{n}}\ \ ,\ \ \ \ k=0,1,...,n-1 wk=nr einθ0+2kπ , k=0,1,...,n−1
几何解释： z z z 的 n n n 次方根有且仅有 n n n 个不同的值，在复平面上，这 n n n 个根均匀分布在以原点为中心， r n \displaystyle\sqrt[n]{r} nr 为半径的圆周上，它们是内接于该圆周的正 n n n 边形的 n n n 个顶点。
1.3 复球面与无穷远点
作球面 S S S 与复平面切于原点，则对复平面内任一点 Z Z Z ，用直线将 Z Z Z 与球北极 N N N 连，与球面相交于 P P P 点，则球面上除 N N N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应。
引入一个无穷远点 ∞ \infty ∞ 与北极点 N N N 对应。加入 ∞ \infty ∞ 点的复平面 C \mathbb{C} C 称为扩充复平面： C ‾ = C ∪ { ∞ } \overline\mathbb{C}=\mathbb{C}\,\cup\,\{\infty\} C=C∪{∞} ，从而使得球面 S S S 与扩充复平面 C ‾ \overline\mathbb{C} C 建立起一一对应关系。这样的球面 S S S 称为复球面。
注意，与一元函数的微积分不同，扩充复平面上的 ∞ \infty ∞ 点只有一个点。
无穷远点的运算：
- z ≠ 0 z\neq0 z=0 ，则 z ± ∞ = ∞ ± z = ∞ z\pm\infty=\infty\pm z = \infty z±∞=∞±z=∞ ；
- z ≠ 0 z\neq0 z=0 ，则 z ⋅ ∞ = ∞ ⋅ z = ∞ z\cdot\infty=\infty\cdot z = \infty z⋅∞=∞⋅z=∞ ；
- z ≠ ∞ z\neq\infty z=∞ ，则 ∞ z = ∞ \displaystyle\frac{\infty}{z}=\infty z∞=∞ ， z ∞ = 0 \displaystyle\frac{z}{\infty}=0 ∞z=0 ；
- z ≠ 0 z\neq0 z=0 ，则 z 0 = ∞ \displaystyle\frac{z}{0}=\infty 0z=∞ ；
- ∣ ∞ ∣ = + ∞ |\infty|=+\infty ∣∞∣=+∞ ， ∞ \infty ∞ 的实部、虚部、辐角均无意义。
1.4 复平面上的点集
(1) 邻域：
D
(
z
0
,
δ
)
=
{
z
;
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
}
D(z_0,\,\delta)=\{z;|z-z_0|<\delta\}
D(z0,δ)={z;∣z−z0∣<δ}
- 无穷远点的邻域：以原点为中心的某个圆的外部 { z ; ∣ z ∣ > R } \{z;|z|>R\} {z;∣z∣>R}
(2) 去心邻域：
D
(
z
0
,
δ
)
\
{
z
0
}
=
{
z
;
0
<
∣
z
−
z
0
∣
<
δ
}
D(z_0,\,\delta)\backslash \{z_0\} =\{z;0<|z-z_0|<\delta\}
D(z0,δ)\{z0}={z;0<∣z−z0∣<δ}
- 无穷远点的去心邻域： { z ; R < ∣ z ∣ < + ∞ } \{z;R<|z|<+\infty\} {z;R<∣z∣<+∞}
(3) 内点和开集：
- 若点集 E E E 的点 z 0 z_0 z0 有一邻域全含于 E E E 内，则称 z 0 z_0 z0 为 E E E 的内点。
- 若点集 E E E 的点皆为内点，则称 E E E 为开集。
(4) 边界点和边界：
- 若在点 z 0 z_0 z0 的任意邻域内，既有属于点集 E E E 的点又有不属于点集 E E E 的点，则称 z 0 z_0 z0 为 E E E 的边界点。
- 点集 E E E 的所有边界点组成 E E E 的边界 ∂ E \partial E ∂E 。
(5) 区域：
- 平面点集
D
D
D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件:
- D D D 是一个开集
- D D D 是连通的
- 区域 D D D 与它的边界 C C C 一起构成闭区域, 记为 D ‾ \overline{D} D 。
(6) 有界区域：
- 如果存在正数 M M M , 使对于一切 z ∈ D z\in D z∈D ，有 ∣ z ∣ ≤ M |z|\leq M ∣z∣≤M ，则称 D D D 为有界区域。否则为无界区域。
(7) 简单曲线和光滑曲线：
- 设 C : z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ( a ≤ t ≤ b ) C:\, z = z(t) = x(t) + iy(t)\ \ (a \leq t \leq b) C:z=z(t)=x(t)+iy(t) (a≤t≤b) 为一条连续曲线， z ( a ) z(a) z(a) 与 z ( b ) z(b) z(b) 分别为 C C C 的起点与终点。
- 对于满足 a < t 1 < b , a ≤ t 2 ≤ b a < t_1 < b,\ a \leq t_2 \leq b a<t1<b, a≤t2≤b 的 t 1 t_1 t1 与 t 2 t_2 t2 ，若存在 t 1 ≠ t 2 t_1\neq t_2 t1=t2 ，而有 z ( t 1 ) = z ( t 2 ) z(t_1) = z(t_2) z(t1)=z(t2) 时，点 z ( t 1 ) z(t_1) z(t1) 称为曲线 C C C 的重点。
- 没有重点的连续曲线 C C C ，称为简单曲线或 Jordan 曲线。
- 如果简单曲线 C C C 的起点与终点闭合，即 z ( a ) = z ( b ) z(a) = z(b) z(a)=z(b) ，则曲线 C C C 称为简单闭曲线。
- 若曲线 C C C 在 a ≤ t ≤ b a\leq t \leq b a≤t≤b 上，有 x ′ ( t ) x'(t) x′(t) 和 y ′ ( t ) y'(t) y′(t) 存在、连续且不全为零，则称 C C C 为光滑曲线。
(8) 单连通区域：
- 复平面上的一个区域 D D D ，如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于 D D D ，就称为单连通区域；一个区域如果不是单连通域，就称为多连通区域。
- 直观上看，单连通区域内部没有洞而多连通区域内部有洞。