连续信号（四） | 周期信号的频谱分析 | 功率分配 + 傅里叶级数近似

（三）周期信号的功率分配

幅度有限的周期信号是功率信号，如果把信号$x(t)$x(t)视为加在$1\Omega$1Ω电阻两端的电压或通过的电流，那么电阻上消耗的平均功率为
$p=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x^2(t)dt$p=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​x2(t)dt
将$x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(nw_0t+\varphi_n)$x(t)=2A0​​+∑n=1∞​An​cos(nw0​t+φn​)代入，并考虑余弦函数集的正交性，有
$p=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}[\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_ncos(nw_0t+\varphi_n)]^2dt=(\frac{A_0}{2})^2+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}A_n^2$p=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​[2A0​​+n=1∑∞​An​cos(nw0​t+φn​)]2dt=(2A0​​)2+n=1∑∞​21​An2​
上式表明周期信号在时域的平均功率等于信号所包含的直流、基波及各次谐波的平均功率之和，反映了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系，称为功率信号的帕斯瓦尔公式。如果参照周期信号的幅度频谱，将各次谐波（包括直流）的平均功率分配关系表示成谱线形式，就得到周期信号的功率频谱。

（四）周期信号的傅里叶级数近似

无论是三角傅里叶级数形式，还是指数傅里叶级数形式，都表明了在一般情况下一个周期信号是由无穷多项正弦型信号（直流、基波及各项谐波）组合而成，换言之，一般情况下，无穷多项正弦型信号的和才能完全逼近一个周期信号。如果采用有限项级数表示周期信号，势必产生表示误差。

例5：周期方波信号的三角形傅里叶级数展开式

$x(t)= \begin{cases} -\frac{E}{2} & -\frac{T_0}{2}\leq t<0 \\ \frac{E}{2} & 0\leq t<\frac{T_0}{2} \end{cases}$x(t)={−2E​2E​​−2T0​​≤t<00≤t<2T0​​​

$a_n=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)cosnw_0tdt \\ =\frac{2}{T_0}(-\frac{E}{2})\frac{1}{nw_0}[sinnw_0t]|_{-\frac{T_0}{2}}^0+\frac{2}{T_0}(-\frac{E}{2})\frac{1}{nw_0}[sinnw_0t]|^{\frac{T_0}{2}}_0$an​=T0​2​∫−2T0​​2T0​​​x(t)cosnw0​tdt=T0​2​(−2E​)nw0​1​[sinnw0​t]∣−2T0​​0​+T0​2​(−2E​)nw0​1​[sinnw0​t]∣02T0​​​

考虑到$w_0=\frac{2\pi}{T_0}$w0​=T0​2π​，可得
$a_n=0 \quad n=0,1,2,\cdots$an​=0n=0,1,2,⋯

$b_n=\frac{2}{T_0}\int^\frac{T_0}{2}_{-\frac{T_0}{2}}x(t)xin\,nw_0tdt \\ =\begin{cases} \frac{2E}{n\pi} & n=1,3,5,\cdots \\ 0 & n=2,4,6,\cdots \end{cases}$bn​=T0​2​∫−2T0​​2T0​​​x(t)xinnw0​tdt={nπ2E​0​n=1,3,5,⋯n=2,4,6,⋯​

所以$x(t)$x(t)的三角形傅里叶级数展开式为
$x(t)=\frac{2E}{\pi}(sinw_0t+\frac{1}{3}sin3w_0t+\frac{1}{5}sin5w_0t+\cdots)$x(t)=π2E​(sinw0​t+31​sin3w0​t+51​sin5w0​t+⋯)
上式表明所示的周期方波含有与原信号相同频率的正弦信号、频率为原信号频率3倍的正弦信号，以及频率为原信号频率其它奇数倍的正弦信号，而各正弦波的幅值随频率的增大而成比例减小。

若取傅里叶级数的前N项来逼近周期方波信号$x(t)$x(t)，则$x_N(t)$xN​(t)为
$x_N(t)=\sum_{n=1}^Nb_{2n-1}sin(2n-1)w_0t$xN​(t)=n=1∑N​b2n−1​sin(2n−1)w0​t
引起的误差函数为
$\epsilon_N(t)=x(t)-x_N(t)$ϵN​(t)=x(t)−xN​(t)
均方误差为
$\overline{\epsilon^2_N(t)}=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\epsilon^2_N(t)dt=\frac{E^2}{4}-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^Nb^2_{2n-1}$ϵN2​(t)​=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​ϵN2​(t)dt=4E2​−21​n=1∑N​b2n−12​
其中N=1为只取基波一项时的波形，这时均方误差为
$\overline{\epsilon_1^2(t)}=\frac{E^2}{4}-\frac{1}{2}(\frac{2E}{\pi})^2 \approx 0.05E^2$ϵ12​(t)​=4E2​−21​(π2E​)2≈0.05E2
其中N=2为取基波和三次谐波时的波形，这时均方误差为
$\overline{\epsilon_3^2(t)}=\frac{E^2}{4}-\frac{1}{2}[(\frac{2E}{\pi})^2+(\frac{2E}{3\pi})^2] \approx 0.02E^2$ϵ32​(t)​=4E2​−21​[(π2E​)2+(3π2E​)2]≈0.02E2
可以看出：傅里叶级数所取项数越多，叠加后波形越逼近原信号，两者之间均方误差越小。显然，当$N\to \infty,x_N(t)\to x(t)$N→∞,xN​(t)→x(t)；当信号$x(t)$x(t)为方波等脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部，所以，$x(t)$x(t)波形变化俞激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化俞缓慢，所包含的低频分量愈丰富；组成原信号$x(t)$x(t)的任一频谱分量（包括幅值、相位）发生变化时，信号$x(t)$x(t)的任一频谱分量（包括幅值、相位）发生变化时，信号$x(t)$x(t)的波形也会发生变化。