应用概率统计（陈魁）第十章（方差分析）部分课后答案
前言
\qquad
计算器敲起来
仅供参考
一、10. 1
代入公式：
x
i
.
=
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
a
,
x
.
.
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
S
T
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
−
x
.
.
2
n
S
A
=
∑
i
=
1
a
x
i
.
2
n
i
−
x
.
.
2
n
S
E
=
S
T
−
S
A
x_i. = \sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} \,,i=1,2,...,a,\qquad x.. = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} \\ S_T = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} -\frac{{x^2_{..}}}{n}\\ S_A = \sum_{i=1}^a\frac{{x^2_{i.}}}{n_i}-\frac{{x^2_{..}}}{n}\\ S_E = S_T-S_A
xi.=j=1∑nixij,i=1,2,...,a,x..=i=1∑aj=1∑nixijST=i=1∑aj=1∑nixij−nx..2SA=i=1∑anixi.2−nx..2SE=ST−SA
解：
设
各
机
器
生
产
的
薄
板
厚
度
为
：
x
i
j
=
μ
i
+
ε
i
j
i
=
1
,
2
,
3
j
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
原
假
设
H
0
:
μ
1
=
μ
2
=
μ
3
备
择
假
设
H
1
：
μ
i
≠
μ
j
,
至
少
有
一
对
i
,
j
a
=
3
n
i
=
5
(
i
=
1
,
2
,
3
)
n
=
15
x
.
.
=
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
5
x
i
j
=
38
x
1.
=
12.1
x
2.
=
12.8
x
3.
=
13.1
S
T
=
2.3
6
2
+
2.3
8
2
+
.
.
.
+
2.6
2
2
−
3
8
2
15
=
0.13
S
A
=
1
5
(
12.
1
2
+
12.
8
2
+
13.
1
2
)
−
3
8
2
15
=
0.11
S
E
=
S
T
−
S
A
=
0.02
S
E
,
S
T
,
S
A
的
自
由
度
分
别
为
12
,
14
,
2
M
S
A
=
0.11
/
2
=
0.055
M
S
E
=
0.02
/
12
=
0.00167
F
=
M
S
A
M
S
E
=
32.93
查
表
得
：
F
α
(
a
−
1
,
n
−
a
)
=
3.89
∵
32.93
>
3.89
∴
拒
绝
H
0
，
各
机
器
生
产
的
薄
板
厚
度
有
显
著
差
异
设各机器生产的薄板厚度为：\\ x_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij}\qquad i = 1,2,3 \ \ j = 1,2,3,4,5 \\原假设H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3\qquad备择假设H_1：\mu_i\ne\mu_j,至少有一对i,j\\ \qquad a =3\qquad n_i= 5(i=1,2,3)\qquad n=15\qquad x.. =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^{5}x_{ij}= 38\\ x_{1.}=12.1 \qquad x_{2.}=12.8 \qquad x_{3.}=13.1\\ S_T = 2.36^2+2.38^2+...+2.62^2-\frac{38^2}{15} = 0.13\\ S_A = \frac15 (12.1^2+12.8^2+13.1^2)-\frac{38^2}{15} =0.11\\ S_E = S_T-S_A= 0.02 \\ S_E,S_T,S_A的自由度分别为12,14,2\\ MS_A = 0.11/2 = 0.055 \qquad MS_E = 0.02/12 = 0.00167\\ F = \frac{MS_A}{MS_E} = 32.93\\ 查表得： F_\alpha(a-1,n-a) = 3.89\\ \because32.93>3.89\qquad\therefore拒绝H_0，各机器生产的薄板厚度有显著差异
设各机器生产的薄板厚度为：xij=μi+εiji=1,2,3 j=1,2,3,4,5原假设H0:μ1=μ2=μ3备择假设H1：μi=μj,至少有一对i,ja=3ni=5(i=1,2,3)n=15x..=i=1∑3j=1∑5xij=38x1.=12.1x2.=12.8x3.=13.1ST=2.362+2.382+...+2.622−15382=0.13SA=51(12.12+12.82+13.12)−15382=0.11SE=ST−SA=0.02SE,ST,SA的自由度分别为12,14,2MSA=0.11/2=0.055MSE=0.02/12=0.00167F=MSEMSA=32.93查表得：Fα(a−1,n−a)=3.89∵32.93>3.89∴拒绝H0，各机器生产的薄板厚度有显著差异
二、10. 3
\qquad
设各测量值总体服从同方差的正态分布，试分析各类型电路对啊应时间有无显者影响
(
α
=
0.05
)
?
(\alpha = 0.05)?
(α=0.05)?.
和第一题一样：
x
i
.
=
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
a
,
x
.
.
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
S
T
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
n
i
x
i
j
−
x
.
.
2
n
S
A
=
∑
i
=
1
a
x
i
.
2
n
i
−
x
.
.
2
n
S
E
=
S
T
−
S
A
x_i. = \sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} \,,i=1,2,...,a,\qquad x.. = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} \\ S_T = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{n_i}x_{ij} -\frac{{x^2_{..}}}{n}\\ S_A = \sum_{i=1}^a\frac{{x^2_{i.}}}{n_i}-\frac{{x^2_{..}}}{n}\\ S_E = S_T-S_A
xi.=j=1∑nixij,i=1,2,...,a,x..=i=1∑aj=1∑nixijST=i=1∑aj=1∑nixij−nx..2SA=i=1∑anixi.2−nx..2SE=ST−SA
解：
设
各
类
型
电
路
的
响
应
时
间
为
：
x
i
j
=
μ
i
+
ε
i
j
i
=
1
,
2
,
3
,
4
j
=
1
,
2
,
3
,
4
,
5
(
i
取
4
时
，
j
不
取
4
,
5
)
原
假
设
H
0
:
μ
1
=
μ
2
=
μ
3
=
μ
4
备
择
假
设
H
1
：
μ
i
≠
μ
j
,
至
少
有
一
对
i
,
j
a
=
4
n
i
=
5
(
i
=
1
,
2
,
3
)
n
4
=
3
n
=
18
x
.
.
=
386
x
1.
=
94
x
2.
=
141
x
3.
=
92
x
4.
=
59
S
T
=
1
9
2
+
2
2
2
+
.
.
.
+
1
9
2
−
38
6
2
18
=
714.44
S
A
=
1
5
(
9
4
2
+
14
1
2
+
9
2
2
)
+
5
9
2
3
−
38
6
2
18
=
318.98
S
E
=
S
T
−
S
A
=
395.46
S
T
,
S
A
,
S
E
的
自
由
度
分
别
为
17
,
3
,
14
M
S
A
=
318.98
/
3
=
106.33
M
S
E
=
395.46
/
14
=
28.25
F
=
M
S
A
M
S
E
=
3.76
查
表
得
：
F
0.05
(
3
,
14
)
=
3.34
∵
3.76
>
3.34
∴
拒
绝
H
0
，
接
受
H
1
各
类
型
电
路
的
响
应
时
间
有
显
著
差
异
设各类型电路的响应时间为：\\ x_{ij} = \mu_i + \varepsilon_{ij}\qquad i = 1,2,3,4 \ \ j = 1,2,3,4,5 (i取4时，j不取4,5) \\原假设H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4\qquad备择假设H_1：\mu_i\ne\mu_j,至少有一对i,j\\ \qquad a =4\qquad n_i= 5(i=1,2,3)\ \ n_4=3\qquad n = 18 \qquad x.. =386\\ x_{1.}=94\qquad x_{2.}=141\qquad x_{3.}=92\qquad x_{4.}=59\\ S_T = 19^2+22^2+...+19^2-\frac{386^2}{18} = 714.44\\ S_A = \frac15 (94^2+141^2+92^2)+\frac{59^2}{3}-\frac{386^2}{18} =318.98\\ S_E = S_T-S_A= 395.46 \\ S_T,S_A,S_E的自由度分别为17,3,14\\ MS_A = 318.98/3 = 106.33\qquad MS_E = 395.46/14= 28.25\\ F = \frac{MS_A}{MS_E} = 3.76\\ 查表得： F_{0.05}(3,14) = 3.34\\ \because3.76>3.34\qquad\therefore拒绝H_0，接受H_1\\ 各类型电路的响应时间有显著差异
设各类型电路的响应时间为：xij=μi+εiji=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5(i取4时，j不取4,5)原假设H0:μ1=μ2=μ3=μ4备择假设H1：μi=μj,至少有一对i,ja=4ni=5(i=1,2,3) n4=3n=18x..=386x1.=94x2.=141x3.=92x4.=59ST=192+222+...+192−183862=714.44SA=51(942+1412+922)+3592−183862=318.98SE=ST−SA=395.46ST,SA,SE的自由度分别为17,3,14MSA=318.98/3=106.33MSE=395.46/14=28.25F=MSEMSA=3.76查表得：F0.05(3,14)=3.34∵3.76>3.34∴拒绝H0，接受H1各类型电路的响应时间有显著差异
三、10. 4
代入公式：
S
T
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
b
x
i
j
2
−
x
.
.
2
a
b
S
A
=
∑
i
=
1
a
x
i
.
2
b
−
x
.
.
2
a
b
S
B
=
∑
j
=
1
b
x
.
j
2
a
−
x
.
.
2
a
b
S
E
=
S
T
−
S
A
−
S
B
S_T = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}x_{ij}^2 -\frac{{x^2_{..}}}{ab}\\ S_A = \sum_{i=1}^a\frac{{x^2_{i.}}}{b}-\frac{{x^2_{..}}}{ab}\\ S_B = \sum_{j=1}^b\frac{{x^2_{.j}}}{a}-\frac{{x^2_{..}}}{ab}\\ S_E = S_T-S_A-S_B
ST=i=1∑aj=1∑bxij2−abx..2SA=i=1∑abxi.2−abx..2SB=j=1∑bax.j2−abx..2SE=ST−SA−SB
解：
设产量为： x i j = μ + α i + β j + ε i j i = 1 , 2 , 3 , 4 j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 原 假 设 H A 0 : α 1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0 H B 0 : β 1 = β 2 = . . . = β 6 = 0 备 择 假 设 H A 1 ： α i ≠ 0 , 至 少 有 一 个 i H A 1 ： β j ≠ 0 , 至 少 有 一 个 j a = 4 b = 6 a b = 24 α = 0.05 x . . = 1010.6 由 表 可 得 ： x 1. = 247.8 x 2. = 248 x 3. = 255.4 x 4. = 259.4 x . 1 = 163.5 x . 2 = 162.1 x . 3 = 164.9 x . 4 = 169.8 x . 5 = 176.2 x . 6 = 174.1 S T = ∑ i = 1 4 ∑ j = 1 6 x i j 2 − 1010. 6 2 24 = 83.34 S A = ∑ i = 1 a x i . 2 b − x . . 2 a b = 16.38 S B = ∑ j = 1 b x . j 2 a − x . . 2 a b = 42.81 S E = S T − S A − S B = 24.15 S T , S A , S B , S E 的 自 由 度 分 别 为 23 , 3 , 5 , 15 M S A = 5.46 M S B = 8.562 M S E = 1.61 F 1 = M S A M S E = 3.39 F 2 = M S B M S E = 5.32 查 表 得 ： F 0.05 ( 3 , 15 ) = 3.29 F 0.05 ( 5 , 15 ) = 2.90 ∵ F 1 > 3.29 F 2 > 2.90 ∴ 拒 绝 H A 0 ， H B 0 ， 不 同 的 机 器 、 不 同 的 运 转 速 度 对 产 量 都 有 显 著 影 响 . x_{ij} = \mu +\alpha_i+\beta_j+ \varepsilon_{ij}\qquad i = 1,2,3,4 \ \ j = 1,2,3,4,5,6 \\原假设H_{A0}:\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=0\qquad H_{B0}:\beta_1=\beta_2=...=\beta_6=0\\ 备择假设H_{A1}：\alpha_i\ne0,至少有一个i\qquad H_{A1}：\beta_j\ne0,至少有一个j\\ \qquad a =4\ \ b=6\qquad ab=24\qquad \alpha = 0.05 \qquad x.. =1010.6\\ 由表可得：x_{1.}=247.8\qquad x_{2.}=248\qquad x_{3.}=255.4\qquad x_{4.}=259.4\\ x_{.1}=163.5\quad x_{.2}=162.1\quad x_{.3}=164.9\quad x_{.4}=169.8\quad x_{.5}=176.2\quad x_{.6}=174.1 \\ S_T = \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^{6}x_{ij}^2 -\frac{{1010.6^2}}{24} = 83.34\\ S_A = \sum_{i=1}^a\frac{{x^2_{i.}}}{b}-\frac{{x^2_{..}}}{ab}=16.38\\ S_B = \sum_{j=1}^b\frac{{x^2_{.j}}}{a}-\frac{{x^2_{..}}}{ab}=42.81\\ S_E = S_T-S_A-S_B=24.15 \\ S_T,S_A,S_B,S_E的自由度分别为23,3,5,15\\ MS_A = 5.46\qquad MS_B = 8.562\qquad MS_E = 1.61\\ F_1 = \frac{MS_A}{MS_E} = 3.39\qquad F_2 = \frac{MS_B}{MS_E} =5.32\\ 查表得： F_{0.05}(3,15) = 3.29\qquad F_{0.05}(5,15) =2.90 \\ \because F_1>3.29\qquad F_2 > 2.90\\ \therefore拒绝H_{A0}，H_{B0}，不同的机器、不同的运转速度对产量都有显著影响. xij=μ+αi+βj+εiji=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5,6原假设HA0:α1=α2=α3=α4=0HB0:β1=β2=...=β6=0备择假设HA1：αi=0,至少有一个iHA1：βj=0,至少有一个ja=4 b=6ab=24α=0.05x..=1010.6由表可得：x1.=247.8x2.=248x3.=255.4x4.=259.4x.1=163.5x.2=162.1x.3=164.9x.4=169.8x.5=176.2x.6=174.1ST=i=1∑4j=1∑6xij2−241010.62=83.34SA=i=1∑abxi.2−abx..2=16.38SB=j=1∑bax.j2−abx..2=42.81SE=ST−SA−SB=24.15ST,SA,SB,SE的自由度分别为23,3,5,15MSA=5.46MSB=8.562MSE=1.61F1=MSEMSA=3.39F2=MSEMSB=5.32查表得：F0.05(3,15)=3.29F0.05(5,15)=2.90∵F1>3.29F2>2.90∴拒绝HA0，HB0，不同的机器、不同的运转速度对产量都有显著影响.
四、10. 5
代入公式：
S
T
=
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
b
∑
k
=
1
n
x
i
j
k
2
−
x
.
.
.
2
a
b
n
S
A
=
1
b
n
∑
i
=
1
a
x
i
.
.
2
−
x
.
.
.
2
a
b
n
S
B
=
1
a
n
∑
j
=
1
b
x
.
j
.
2
−
x
.
.
.
2
a
b
n
S
A
×
B
=
1
n
∑
i
=
1
a
∑
j
=
1
b
x
i
j
.
2
−
x
.
.
.
2
a
b
n
−
S
A
−
S
B
S
E
=
S
T
−
S
A
−
S
B
−
S
A
×
B
S_T = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^n x_{ijk}^2 -\frac{{x^2_{...}}}{abn}\\ S_A =\frac1{bn} \sum_{i=1}^ax^2_{i..}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}\\ S_B =\frac1{an} \sum_{j=1}^{b}x^2_{.j.}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}\\ S_{A\times B} = \frac1n\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}x^2_{ij.}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}-S_A-S_B\\ S_E = S_T-S_A-S_B-S_{A\times B}
ST=i=1∑aj=1∑bk=1∑nxijk2−abnx...2SA=bn1i=1∑axi..2−abnx...2SB=an1j=1∑bx.j.2−abnx...2SA×B=n1i=1∑aj=1∑bxij.2−abnx...2−SA−SBSE=ST−SA−SB−SA×B
解：
设燃烧速度为： x i j = μ + α i + β j + γ i j + ε i j k i = 1 , 2 , 3 , 4 j = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 k = 1 , 2 原 假 设 H A 0 : α 1 = α 2 = α 3 = 0 H B 0 : β 1 = . . . = β 4 = 0 H A B 0 : γ i j = 0 备 择 假 设 H A 1 ： α i ≠ 0 , 至 少 有 一 个 i H A 1 ： β j ≠ 0 , 至 少 有 一 个 j H A B 0 : γ i j ≠ 0 , 至 少 有 一 对 i , j a = 3 b = 4 n = 2 a b n = 24 α = 0.05 x . . . = 710.2 由 表 可 得 ： x 1.. = 244 x 2.. = 237.4 x 3.. = 228.8 x . . 1 = 189.6 x . . 2 = 179.1 x . . 3 = 170.3 x . . 4 = 171.2 S T = ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b ∑ k = 1 n x i j k 2 − x . . . 2 a b n = 21107.68 − 21016 = 91.68 S A = 1 b n ∑ i = 1 a x i . . 2 − x . . . 2 a b n = 14.52 S B = 1 a n ∑ j = 1 b x . j . 2 − x . . . 2 a b n = 40.08 S A × B = 1 n ∑ i = 1 a ∑ j = 1 b x i j . 2 − x . . . 2 a b n − S A − S B = 22.17 S E = S T − S A − S B − S A × B = 14.91 S T , S A , S B , S A × B , S E 的 自 由 度 分 别 为 23 , 2 , 3 , 6 , 12 M S A = 7.26 M S B = 13.36 M S A × B = 3.695 M S E = 1.24 F 1 = M S A M S E = 5.85 F 2 = M S B M S E = 10.77 F 3 = M S A × B M S E = 2.98 查 表 得 ： F 0.05 ( 2 , 12 ) = 3.89 F 0.05 ( 3 , 12 ) = 3.49 F 0.05 ( 6 , 12 ) = 3.00 ∵ F 1 > 3.89 F 2 > 3.49 F 3 < 3.00 ∴ 导 弹 系 统 推 进 器 类 型 对 燃 烧 速 度 有 显 著 影 响 ， 它 们 的 交 互 作 用 对 燃 烧 速 度 无 影 响 . x_{ij} = \mu +\alpha_i+\beta_j+\gamma_{ij} +\varepsilon_{ijk}\qquad i = 1,2,3,4 \ \ j = 1,2,3,4,5,6\ \ k=1,2 \\原假设H_{A0}:\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\quad H_{B0}:\beta_1=...=\beta_4=0\quad H_{AB0}:\gamma_{ij}=0\\ 备择假设H_{A1}：\alpha_i\ne0,至少有一个i\quad H_{A1}：\beta_j\ne0,至少有一个j \quad H_{AB0}:\gamma_{ij}\ne0,至少有一对i,j \\ \qquad a =3\ \ b=4\ \ n=2\qquad abn=24\qquad \alpha = 0.05 \qquad x... =710.2\\ 由表可得：x_{1..}=244\qquad x_{2..}=237.4\qquad x_{3..}=228.8\\ x_{..1}=189.6\quad x_{..2}=179.1\quad x_{..3}=170.3\quad x_{..4}=171.2\\ S_T = \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^n x_{ijk}^2 -\frac{{x^2_{...}}}{abn}=21107.68-21016= 91.68\\ S_A =\frac1{bn} \sum_{i=1}^ax^2_{i..}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}=14.52\\ S_B =\frac1{an} \sum_{j=1}^{b}x^2_{.j.}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}=40.08\\ S_{A\times B} = \frac1n\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}x^2_{ij.}-\frac{{x^2_{...}}}{abn}-S_A-S_B=22.17\\ S_E = S_T-S_A-S_B-S_{A\times B=14.91} \\ S_T,S_A,S_B,S_{A\times B} ,S_E的自由度分别为23,2,3,6,12\\ MS_A = 7.26\quad MS_B = 13.36\quad MS_{A\times B} = 3.695\qquad MS_E = 1.24\\ F_1 = \frac{MS_A}{MS_E} = 5.85\qquad F_2 = \frac{MS_B}{MS_E} =10.77\qquad F_3= \frac{MS_{A\times B}}{MS_E} =2.98\\ 查表得： F_{0.05}(2,12) = 3.89\quad F_{0.05}(3,12) =3.49\quad F_{0.05}(6,12) =3.00\\ \because F_1>3.89\qquad F_2 > 3.49 \qquad F_3 < 3.00\\ \therefore导弹系统推进器类型对燃烧速度有显著影响，它们的交互作用对燃烧速度无影响. xij=μ+αi+βj+γij+εijki=1,2,3,4 j=1,2,3,4,5,6 k=1,2原假设HA0:α1=α2=α3=0HB0:β1=...=β4=0HAB0:γij=0备择假设HA1：αi=0,至少有一个iHA1：βj=0,至少有一个jHAB0:γij=0,至少有一对i,ja=3 b=4 n=2abn=24α=0.05x...=710.2由表可得：x1..=244x2..=237.4x3..=228.8x..1=189.6x..2=179.1x..3=170.3x..4=171.2ST=i=1∑aj=1∑bk=1∑nxijk2−abnx...2=21107.68−21016=91.68SA=bn1i=1∑axi..2−abnx...2=14.52SB=an1j=1∑bx.j.2−abnx...2=40.08SA×B=n1i=1∑aj=1∑bxij.2−abnx...2−SA−SB=22.17SE=ST−SA−SB−SA×B=14.91ST,SA,SB,SA×B,SE的自由度分别为23,2,3,6,12MSA=7.26MSB=13.36MSA×B=3.695MSE=1.24F1=MSEMSA=5.85F2=MSEMSB=10.77F3=MSEMSA×B=2.98查表得：F0.05(2,12)=3.89F0.05(3,12)=3.49F0.05(6,12)=3.00∵F1>3.89F2>3.49F3<3.00∴导弹系统推进器类型对燃烧速度有显著影响，它们的交互作用对燃烧速度无影响.
▌总结
附：
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第十一章传送门