深入理解FT,DTFT,DFT 之间的关系

总的来说从FT到DTFT,就是时域相乘频域卷积。
乘的是采样信号,理想采样信号的频域是冲击信号。

卷积的定义式如下:
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结果的自变量还是t,t用来控制g的移动。结果会根据移动的不同而不同。此时的t可以看成一个控制变量。

DTFT可以看成时域连续信号采样后的FT。
若时域信号为f(t),他的FT为F(w)。
抽样信号为p(t),他的FT为。证明如下(抽样信号的傅里叶变换,可以看成先用傅里叶级数展开,再做傅里叶变换。否则不满足时域可和条件吧)。
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那么f(t)p(t)的FT为,也就是原信号FT的周期延伸。推导如下,
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可以看到时域的离散,有了频域的周期性。同样的我们对频域进行离散采样,就有了时域的周期性。这些基础知识,能更好地理解下面各种傅里叶之间的关系。

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学习了数字信号处理之后,被里面的几个名词搞的晕头转向,比如DFT、DTFT、FS、FT、FFT、DFS等,参考整理的资料,重新写了一下各种变换的概念。

 

学过卷积,我们都知道有时域卷积定理频域卷积定理,在这里只需要记住两点:

1. 在一个域的相乘等于另一个域的卷积;

2. 与脉冲函数的卷积,在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。(在任何一本信号与系统课本里,此两条性质有详细公式证明)

 

下面,就用这两条性质来说明DFT,DTFT,DFS 之间的联系:



一、FT


首先来说图(1)和图(2),对于一个模拟信号,如图(1)所示,要分析它的频率成分,必须变换到频域,这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的,于是有了模拟信号的频谱,如图(2);注意1:时域和频域都是连续的!

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但是,计算机只能处理数字信号,首先需要将原模拟信号在时域离散化,即在时域对其进行采样,采样脉冲序列如图(3)所示,该采样序列的频谱如图(4),可见它的频谱也是一系列的脉冲。

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二、DTFT


所谓时域采样,就是在时域对信号进行相乘;


(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n],如图(5)所示;


由前面的性质1,时域的相乘相当于频域的卷积,那么,图(2)与图(4)进行卷积,根据前面的性质2知,会在各个脉冲点处出现镜像,于是得到图(6);


它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform),即离散时间傅立叶变换,这里强调的是“离散时间”四个字。注意2:时域是离散的,而频域依然是连续的。


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经过上面两个步骤,我们得到的信号依然不能被计算机处理,因为频域既连续,又周期。我们自然就想到,既然时域可以采样,为什么频域不能采样呢?这样不就时域与频域都离散化了吗?没错,接下来对频域在进行采样,频域采样信号的频谱如图(8)所示,它的时域波形如图(7)。


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三、DFT


现在我们进行频域采样,即频域相乘,图(6)×图(8)得到图(10),那么根据性质1,这次是频域相乘,时域卷积了吧,图(5)和图(7)卷积得到图(9),不出所料的,镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处。我们取图(10)周期序列的主值区间,并记为X(k),它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform),即离散傅立叶变换。


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可见,DFT只是为了计算机处理方便,在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已。有人可能疑惑,对图(10)进行IDFT,回到时域即图(9),它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀,它是x[n]的周期性延拓!没错,因此你去查找一个IDFT的定义式,是不是对n的取值区间进行限制了呢?这一限制的含义就是,取该周期延拓序列的主值区间,即可还原x[n]!

深入理解FT,DTFT,DFT 之间的关系
深入理解FT,DTFT,DFT 之间的关系
从图中可以看出,正变换在时域对k进行选择,也就是将原来的连续频谱,通过人为的取值变为了离散频谱。
频谱离散后,逆变换后的时域信号变成了原来信号的周期延拓。所以我们对时域选点,把他限制在一个周期内。这样就和原来的信号一致了。