层次分析法

1.问题的提出
日常生活中有很多的决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策的问题。比如：

1、买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。
2、假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，那一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素来算着去哪个地方。
面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、直至最后的决策。这个过程中都是一些主观的因素，这些因素可能由于个人情况的不同，有相应不同的比重，所以这样主观因素给数学方法的解决带来了很多的不便。

2.层次分析法简介
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。

层次分析法的原理，层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

层次分析法的步骤，运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：

建立层次结构模型；
构造判断(成对比较)矩阵；
层次单排序及其一致性检验；
层次总排序及其一致性检验；

3.层次分析法的基本步骤
3.1 建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层，绘制层次结构图。

最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；
中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；
最低层(方案层)：决策时的备选方案；
下面以选择旅游地为例进行分析：
层次分析法
3.2 构造判断(成对比较)矩阵
那在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果(就是我认为景色占80%，费用10%等等)，则常常不容易被别人接受，因此Santy等人提出：一致矩阵法，即：

不把所有因素放在一起比较，而是两两比较；
对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准去性；
成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素(准侧或目标)的相对重要性的比较。成对比较矩阵的元素 [公式] 表示的是第 [公式] 个因素相对于第 [公式] 个因素的比较结果，这个值使用的是Santy的1-9标度方法给出。
层次分析法
那比如，举上面的旅游的例子，在旅游问题中第二层A的各个因素对目标层Z的影响两两比较的结果如下图：

第二层个因素对第一层的影响的对比矩阵
比如 [公式] 则表示的是景色因素比居住因素对于选择旅游地来说稍微重要。

那两两进行比较以后，怎么才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？

3.3 层次单排序及一致性检验
层次单排序：W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序，那能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对成对比较矩阵确定不一致的允许范围。
层次分析法

定理：

定义一致性指标：

定义一致性比率：

一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对 A进行检验的过程。

如果成对比较矩阵属于可接受的一致性或者是一致性矩阵，那么就可以使用这种方式来近似的计算层次单排序权重，也就是同一层次的每个因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值。