数学建模

层次分析法

定义

层次分析法(AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Santy)于_上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的- -种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难以完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。

决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一方案。比如在购买手机时我们会考虑品牌，配置，价格，性能等，还有这找旅游地点时会考虑景色，游客量，价格，饮食特色等。

层次分析法要解决的问题就是在面临众多影响因素时如何做出决断。

原理

层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚
集组合,形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

层次分析法步骤

1. 检录层次结构模型
2. 构造判断（成对比较）矩阵
3. 层次单排序及其一致性检验
4. 层次总排序及其一致性检验

构建模型

构建层次结构模型时，首先需要理清决策的目标，需要考虑的因素（决策准则），因素不用很多，但一定得是主要因素和决策对象。并按照它们之间的相互关系分为最高层，中间层和最低层。
最高层： 决策的目的，要解决的问题
中间层：考虑的因素，决策准则
最低层：决策的备选方案

以选择旅游地为例：

其中目标层即为最高层，准则层为中间层，方案层为最底层。

成对比较矩阵

在确定中间层中各因素的权重时，如果只是我们主管的定性分析，往往不会被别人接受。以选择旅游地点为例：在考虑准则层中各因素对选择旅游地的权重时，我们可能为根据自己的看法将景色的权重设为7，饮食为2，其他为1.就我们主观的将景色设为最重要因素。这些都是我们主观判断，并不一定会令其他人接受。所以成对比较矩阵就是为了解决这个问题。
成对比较矩阵：

1. 将准则层因素进行两两比较，比较两因素对决策目标的权重。
2. 此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。

成对比较矩阵中的元素由Santy的1-9标度发给出
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标度	含义
1	表示两个因素相比，具有同样重要性.
3	表示两个因素相比，-一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个因素相比，-个因素比另-一个因素极端重要
2，4，6，8	上述两相邻判断的中值
倒数	因素i与j比较的判断ag;,则因素j与i比较的判断ag:=1/aq

示例（以选择旅游地为例）：

其中C1，C2,C3,C4,C5分别对应准则层5个因素景色，费用，居住，饮食，旅途。
矩阵中A2,1表示C2和C1比较，C2稍微重要一些，程度为2，相反C1相对于C2就是1/2.
允许不一致。图中可以看到A2,1=2(C2:C1) A1,3=4(C1:C3) 所以A2,3应该为8（C2:C3),但矩阵中给出为7.所以允许不一致，但需要在一定范围内。

实例讲解

构建选择旅游地的层次分析模型：

其中Z为决策目标，选择旅游地。 A1，A2，A3，A4，A5为决策准则：景色，费用，居住，饮食，旅途。B1，B2，B3为三个备选地点。
构建出的层次对比矩阵如***意成对对比矩阵是本层的因素针对上一层的一个因素的比较权重矩阵）：

这个矩阵为准则层中的5个因素对目标层的Z的成对比较矩阵。即A1，A2，A3，A4，A5相对于Z的权重分析。

这5个矩阵分别是B1，B2，B3相对于准则层中的A1，A2，A3，A4，A5的权重分析。第一个矩阵就是方案层中B1，B2，B3对准则层中A1的权重分析。

构建完成对比较矩阵后，就可以获得某一层中的全部因素相对于上一层中的某一因素的权重。 通过上述矩阵得到的权重结果如下：
A1，A2，A3，A4，A5对Z的权重为 [0.2636, 0.4758, 0.0538, 0.0981, 0.1087]
意思就是A1，A2，A3，A4，A5这5个因素中A1对Z的权重为0.2636，A2对Z为0.4758，… 也就是A2的重要性最大。A1第二。下面的结果意思一样。
B1，B2，B3对A1的权重为 [0.5954, 0.2764, 0.1283]
B1，B2，B3对A2的权重为 [0.0819, 0.2363, 0.6817]
B1，B2，B3对A3的权重为 [0.4286, 0.4286, 0.1429]
B1，B2，B3对A4的权重为 [0.6337, 0.1919, 0.1744]
B1，B2，B3对A5的权重为 [0.1667, 0.1667, 0.6667]

最后计算总排序权值和一致性检验：
B1对总目标的权值为：0.595x 0.263 + 0.082x0.475+ 0.429x 0.055+ 0.633x0.099+0.166x0.110=0.3

同理可得B2，B3对总目标的权值为0.245，0.455.
得到方案层度总目标的权重值为：{0.3，0.245，0.455}

所以选择去B3桂林最合适。

源程序 代码

链接：https://download.csdn.net/download/Ace_bb/12426503

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————————————————博客内容为学习B站小石老师的数学建模视频时做的笔记。视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV12W411X7aE?p=2