数学建模之层次分析法（AHP）

1 应用场景

评价、决策类问题：

1. 我们评价的 目标 是什么？
2. 为了达到这个目标有几种可选方案？
3. 评价得准则或者指标是什么？
   指标选择：根据背景材料、常识以及网上收集的资料进行结合筛选。

2.层次分析法步骤

2.1.建立系统递阶层次结构

2.2.对准则层和方案层构造判断矩阵

我们采取分而治之的思想，将两两指标进行比较，最终根据两两比较结果来推算出权重。

注：重要性可以理解为满意度
根据重要性我们可以的到两两指标之间的重要性比值
我们可以得到准则层的判断矩阵：

上述方阵有以下特点:

• $a_{ij}$aij​表示$i$i对指标$j$j的重要程度。
• 当$i=j$i=j两指标标度为1
• 正互反矩阵 ：$a_{ij}>0且a_{ij}×a_{ji}=1$aij​>0且aij​×aji​=1

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算。

不同地区同一指标的计算方法也与上类似：
我们可以得到不同方案对于同一指标的判断矩阵。

2.3.一致性检验

但是，对于上面得到的矩阵，可能会出现不一致现象，例如：

在上图中，苏杭>北戴河，北戴河>桂林，但是又苏杭=桂林，出现了不一致矛盾。
因此，我们需要判断一致性。
一致矩阵判定方法：

充要条件：正互反矩阵满足 $a_{ik}=a_{ij}×a_{jk}$aik​=aij​×ajk​
一般判定条件：各行（各列）之间呈倍数关系。

当然，如果不是一致性矩阵，满足一致性检验条件时候，也是可以用的。
下面我们介绍一致性检验：

线代知识回顾：
引理：若A为n阶方阵，且$r(A)=1$r(A)=1则A有一个特征值为$tr(A)$tr(A)，其余特征值为0.
结论：一致性矩阵有一个特征值为$n$n，其余全为$0$0.
特征值为$n$n时，对应的特征向量刚好为$k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},…,\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\neq)$k[a11​1​,a12​1​,…,a1n​1​]T(k​=)
引理：$n$n阶正互反矩阵$A$A为一致矩阵时当且仅当$λ_{max}=n$λmax​=n;且当非一致时，$λ_{max}>n$λmax​>n,越不一致，相差越大。

一致性检验步骤：

1. 计算一致性指标：$CI=\frac{{λ_{max}-n}}{n-1}$CI=n−1λmax​−n​
2. 查找对应得到平均随机一致性指标 RI
   
3. 计算一致性比例 CR
   $CR=\frac{CI}{RI}$CR=RICI​
   若$CR<0.1$CR<0.1，则一致性可以接受，否则修正判断矩阵。

CR>1如何修正？
尽量调到各行成倍数关系

2.4.一致矩阵权重计算

1.绝对一致矩阵：（满足各行各列倍数关系）

权重为第一列的归一化处理：

2.满足一致性的矩阵（但不绝对一致）
我们有三种方法计算权重：
方法一：算数平均法
方法二：几何平均法
第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
第二步：将新的向量的每个分量开n次方
第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

方法三：特征值法
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

一般来说，我们用特征值法求出的权重来作为最后的结果，当然，我们强烈建议将三种方法的权值都计算出来，进行比较分析。避免单一方法偏差

2.5.根据权重矩阵计算得分，进行方案优劣排序

最后求出来的权重矩阵如下：

最后用指标权重和对应方案权重相乘在求和便得到该方案的得分，例如：苏杭得分

类似我们得到北戴河0.245分，桂林0.455分，因此我们选择最佳方案：桂林

3.层次分析法的推广

当有些指标在不同方案之间并不是公用的，那我们只需要将该方案相对于该指标的权值设为0，即可用层次分析法继续求解。

4.层次分析法的局限性

1.决策层不能太多，一般$n<15$n<15
2.如果决策层指标得到数据已知，可以利用Topsis方法使评价更准确。

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