连续时间傅里叶变换

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

$x(t) = \begin{cases} 1, &amp; \text |t| &lt; T_1 \\ 0, &amp; \text T_1 &lt; |t| &lt; T/2 \end{cases}$x(t)={1,0,​|t∣<T1​T1​<∣t∣<T/2​

以周期 $T$T 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 $a_k$ak​ 是

$\tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}$ak​=kω0​T2sin(kω0​T1​)​(1)
式中 $\omega_0 = 2\pi/T$ω0​=2π/T。

理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

$\tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0}$Tak​=ω2sinωT1​​∣ω=kω0​​(2)

这就是，若将 $\omega$ω 看作一个连续变量，则函数 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 $Ta_k$Tak​ 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 $T_1$T1​ 固定，则 $Ta_k$Tak​ 的包络就与 $T$T 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 $T$T 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 $T$T 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 $T$T 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 $T\to \infty$T→∞，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 $x(t)$x(t)，它具有有限持续期 $2T_1$2T1​，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 $\tilde x(t)$x~(t)，使 $x(t)$x(t) 就是 $\tilde x(t)$x~(t) 的一个周期。当把 $T$T 选的比较大时，$x(t)$x(t) 就在一个更长的时段上与 $\tilde x(t)$x~(t) 相一致，并且随着 $T\to \infty$T→∞，对任意有限时间值 $t$t 而言，$\tilde x(t)$x~(t) 就等于 $x(t)$x(t)。

在这种情况下，我们考虑将 $\tilde x(t)$x~(t) 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 $-T/2 \leqslant t \leqslant T/2$−T/2⩽t⩽T/2。

$\tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$x~(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t(3)

$\tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ak​=T1​∫−2T​2T​​x~(t)e−jkω0​tdt(4)

式中 $\omega_0=2\pi / T$ω0​=2π/T，由于在 $|t|&lt; T/2$∣t∣<T/2 内，$\tilde x(t)=x(t)$x~(t)=x(t)，而在其余地方，$x(t)=0$x(t)=0，所以（4）式可以重新写为

$\tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ak​=T1​∫−2T​2T​​x(t)e−jkω0​tdt=T1​∫−∞+∞​x(t)e−jkω0​tdt(5)

因此，定义 $Ta_k$Tak​ 的包络 $X(j\omega)$X(jω) 为

$\tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$X(jω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt(6)

这时候，系数 $a_k$ak​ 可以写为

$\tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0)$ak​=T1​X(jkω0​)(7)

将（3） 和 （7）结合在一起，$\tilde x(t)$x~(t) 就可以用表示为

$\tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0$x~(t)=k=−∞∑+∞​T1​X(jkω0​)ejkω0​t=2π1​k=−∞∑+∞​X(jkω0​)ejkω0​tω0​(8)

随着 $T\to \infty$T→∞，$\tilde x(t)$x~(t) 趋近于 $x(t)$x(t)，式（8）的极限就变成 $x(t)$x(t) 的表达式。再者，当 $T\to \infty$T→∞ 时，有 $\omega_0\to 0$ω0​→0，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$X(jkω0​)ejkω0​t 宽度为 $\omega_0$ω0​ 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

$\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega}$x(t)=2π1​∫−∞+∞​X(jω)ejωtdω​(9)

$\tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$X(jω)=∫−∞+∞​x(t)e−jωtdt​(10)

（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 $X(j\omega)$X(jω) 称为 $X(t)$X(t) 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。

• 例 1
  

• 例 2
  
  

sinc 函数通常所用的形式为

$\tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta}$sinc(θ)=πθsinπθ​(11)

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 $x(t)$x(t)，其傅里叶变换 $X(j\omega)$X(jω) 是一个面积为 $2\pi$2π，出现在 $\omega = \omega_0$ω=ω0​处的单独的一个冲激，即

$\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$X(jω)=2πδ(ω−ω0​)(12)

为了求出与 $X(j\omega)$X(jω) 对应的 $x(t)$x(t)，可以应用式（9）的反变换公式得到

$\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t}$x(t)=2π1​∫−∞+∞​2πδ(ω−ω0​)ejωtdω=ejω0​t(13)

将上面的结果再加以推广，如果 $X(j\omega)$X(jω) 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

$\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)$X(jω)=k=−∞∑+∞​2πak​δ(ω−kω0​)(14)

那么利用式（9），可得

$\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}$x(t)=k=−∞∑+∞​ak​ejkω0​t(15)

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 $\{a_k\}${ak​} 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 $k$k 次谐波频率 $k\omega_0$kω0​ 上的冲激函数的面积是第 $k$k 个傅里叶级数系数 $a_k$ak​ 的 ${2\pi}$2π 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x(t)$x(t) 和 $X(j\omega)$X(jω) 这一对傅里叶变换用下列符号表示

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

3.1. 线性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

和

$y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)$y(t)↔FY(jω)

则

$\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)}$ax(t)+by(t)↔FaX(jω)+bY(jω)​(16)

3.2. 时移性质

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

则

$\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)}$x(t−t0​)↔Fe−jωt0​X(jω)​(17)

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

则

$\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)}$x∗(t)↔FX∗(−jω)​(18)

共轭性质就能证明，若 $x(t)$x(t) 为实函数，那么 $X(j\omega)$X(jω) 就具有共轭对称性，即

$\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 为实]}$X(−jω)=X∗(jω)[x(t)为实]​(19)

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

$\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)}$dtdx(t)​↔FjωX(jω)​(20)

$\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1} {j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}$∫−∞t​x(τ)dτ↔Fjω1​X(jω)+πX(0)δ(ω)​(21)

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

$\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})}$x(at)↔F∣a∣1​X(ajω​)​(22)

若令 $a=-1$a=−1，则有

$\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)}$x(−t)↔FX(−jω)​(23)

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$x(t)↔FX(jω)

则

$\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega }$∫−∞+∞​∣x(t)∣2dt=2π1​∫−∞+∞​∣X(jω)∣2dω​(24)

3.8. 卷积性质

$\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}$y(t)=h(t)∗x(t)↔FY(jω)=H(jω)X(jω)​(25)

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

$\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]}$r(t)=s(t)p(t)↔FR(jω)=2π1​[S(jω)∗P(jω)]​(27)

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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