数据结构之堆(Heap)
什么是优先队列？
队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构。虽然，优先队列中含有队列两个字，但是，他一点也不像队列了。个人感觉，应该叫他优先群。怎么说那，一群守秩序(FIFO)的人去排队买东西当然是队列结构。但是，一群不守秩序的人去买东西，当然谁的拳头大谁就先结账。这个拳头的大小就是我们所谓的优先级。哎~我拳头不大~
优先队列的实现方式有：
1.线性表
2.堆(Heap)
3.左高树(Leftist Tree)
本文先从堆(Heap)开始讨论实现优先队列。
介绍堆之前，先介绍一种叫做最大树和最小树的数据结构：
最大（小）树：
1.根的值大（小）于等于所有子树中所有的值
2.子树也是最大（小）树
最大（小）堆:
1.完全二叉树 2.最大（小）树
首先，我们要清楚，最大堆中最大的元素一定出现在根上，最小的元素一定在树的叶子上；第二大的元素一定在第二层上等等。
其次，因为堆是完全二叉树，所以，使用数组描述这种结构最好不过了。
上图是一棵最大堆。
我们想对这中数据结构进行插入、删除时，要如何完成？
插入（就是拉父亲，拉不拉得动就另一说了）：
1)当插入5时，因为完全树，所以5要出现在第四层的第三个位置上。5放到这之后，父元素仍然比他大，所以仍然可以构成堆。
2)当插入20时，同样，要出现在4层的第三个上。但是，这时，7比20小了，那么，就把7拿下来，在判断20是不是可以在原7的位置上，不行的话，往下拉父节点，去侵占父节点的位置。
插入时，每一层操作一次，最多操作height次
于是时间复杂度为O(log2nlog2n)
删除（当然是要删最大的元素了，也就是要删根）：
这也是一个最大堆
删掉20时，我们首先由完全树的定义知，第4层的8的未知将消失，我们不妨把8先拿到根上，再进行堆的重构（在左右树都是堆的情况下）。
删除时，每一层最多被修改一次，于是最多修改height次。
时间复杂度时O(log2nlog2n)。
最大堆的初始化（对数组中的元素进行调序）：
想一下最大堆，我们要想调序，要从最下层开始，但是，叶子需要调吗？暂时不需要。一个单独的节点就可以看成是一个最大堆了。由最大堆的性质可知，后面⌈n/2⌉⌈n/2⌉个元素是叶子。那么，我们就从第[n/2]个元素开始对其进行调序。
对数组{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}进行调序
叶子暂时是不需要重构的。从5开始，对5进行重构和上面的重构方法类似不赘述。对4重构、3、2、1。
分析时间复杂性：
对第i层的某元素进行重构时，最复杂就是 从这个元素到叶子上的一条路径的节点都被修改，时间复杂度为O(height-i+1)。
我们一共需要修改height-1层；且第i层最多有2i−12i−1个元素。
于是，总时间复杂度为
O((height−i+1)∗(height−1)∗2i−1∀i∈1,2,3,...,height−1(height−i+1)∗(height−1)∗2i−1∀i∈1,2,3,...,height−1)=O(2h2h)=O(n)
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古人云：“没有代码就是耍流氓。” 代码如下：
/*MaxHeap*/
#include"xcept.h"
#include<iostream>
using namespace std;
template<class T>
class MaxHeap{
public:
MaxHeap(int _maxsize=10);
~MaxHeap(){ delete[] heap; };
MaxHeap<T>& Insert(T& t);//将元素t插入最大堆
MaxHeap<T>& Delete(T& t);//将最大堆的根删掉，返回到t中
void Initialize(T t[], int _currSize, int _maxSize);//初始化最大堆
void output();
void Deactive();
private:
int currentSize;
int maxSize;
T *heap;//数组存放
};
template <class T>
MaxHeap<T>::MaxHeap(int _maxsize){//构造函数
currentSize = 0;
maxSize = _maxsize;
heap = new T[maxSize + 1];//第一个元素不使用
}
template <class T>
MaxHeap<T>& MaxHeap<T>::Insert(T& t){//将元素t插入最大堆
if (currentSize == maxSize) //满了拒绝插入
throw NoMem();
int i = ++currentSize;
while (i != 1 && t > heap[i / 2]){
heap[i] = heap[i / 2];//拉下父亲来
i = i / 2;
}
heap[i] = t;
return *this;
}
template <class T>
MaxHeap<T>& MaxHeap<T>::Delete(T& t){//删除最大元素
if (currentSize == 0){//堆是空的，拒绝
throw OutofBounds();
}
t = heap[1];
T tail = heap[currentSize--];
//重构
int i = 1;
int ci = 2;//记录i的孩子
while (ci<=currentSize)
{
//找最大的孩子
if (ci<currentSize && heap[ci+1]>heap[ci]){
ci = ci + 1;
}
//判断是不是可以在当前位置i
if (tail > heap[ci]){//yes
break;
}
//no
heap[i] = heap[ci];//把最大的孩子拿上去
i = ci; //判断位置下移
ci = i * 2;//仍记录孩子
}
heap[i] = tail;
return *this;
}
template <class T>
void MaxHeap<T>::Initialize(T t[], int _currSize, int _maxSize){
delete[]heap;
heap = t;
maxSize = _maxSize;
currentSize = _currSize;
//重构
for (int i = maxSize / 2; i > 0; i--){
T data = heap[i];//对第i个元素进行重构
int ci = i * 2;
while (ci <= currentSize)
{
//找最大的孩子
if (ci<currentSize && heap[ci + 1]>heap[ci]){
ci = ci + 1;
}
//判断是不是可以在当前位置i
if (data > heap[ci]){//yes
break;
}
//no
heap[ci/2] = heap[ci];//把最大的孩子拿上去
//判断位置下移
ci = ci * 2;//仍记录孩子
}
heap[ci/2] = data;
}
}
template<class T>
void MaxHeap<T>::Deactive(){
heap = 0;
}
template<class T>
void MaxHeap<T>::output(){
for (int i = 1; i <= currentSize; i++)
{
cout << heap[i] << " ";
}
cout << endl;
}
这样，我们保证了每次出”队列”的都是最大的元素。即有了优先性。
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堆这种基本的出入模式，可以完成一个人人皆知的排序算法—-堆排序。这是一种排序快且稳定的算法。
用堆来实现排序，看下面的代码：
#include"MaxHeap.h"
template <class T>
void heapSort(T arr[],int currSize,int maxSize){
MaxHeap<T> mh;
mh.Initialize(arr, currSize, maxSize);
for (int i = currSize; i >0; i--)
{
T temp;
mh.Delete(temp);
arr[i] = temp;
}
//不让mh删掉arr
mh.Deactive();
for (int i = 1; i <= currSize; i++)
{
cout << arr[i] << " ";
}
}
调用
//第一个位置不放元素
int x[20] = {0,4,2,3,8,9,1,5};
heapSort(x, 7, 20);
结果
分析一下时间复杂度：
创建最大堆：n
删掉一个元素：log2nlog2n
删掉全部的元素：n∗log2nn∗log2n
总的操作次数：n+n∗log2nn+n∗log2n
则总的时间复杂度****O(nlognnlogn)（这是最快的排序了吧，好像是）
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