离散信号（八）| 离散傅里叶变换DFT性质（圆周移位、圆周卷积）

离散傅里叶变换DFT的性质

离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而它与其它傅里叶变换有着相似的性质。但是它又是从傅里叶级数派生而来，所以又具有一些与其它傅里叶变换不同的特性，其中最主要的圆周移位性质和圆周卷积性质。如上所述，一个有限长序列$x(n)$x(n)的DFT，可以看作以有限长度N为周期，将$x(n)$x(n)进行周期延拓形成的周期序列$x_p(n)$xp​(n)在一个周期内的离散频谱。因此研究DFT的性质必须以周期性序列的特点作为其基本出发点。

1， 线性性质

若$x_1(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X_1(k),x_2(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X_2(k)$x1​(n)↔DFTX1​(k),x2​(n)↔DFTX2​(k)，那么
$ax_1(n)+bx_2(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}aX_1(k)+bX_2(k)$ax1​(n)+bx2​(n)↔DFTaX1​(k)+bX2​(k)
要保证二序列要有相同的长度。如果$x_1(n)、x_2(n)$x1​(n)、x2​(n)长度不同，长度短的序列要补零，使它与另一序列长度相同。

2. 圆周移位性质

若有限长序列为$x(n)0\leq n\leq N-1$x(n)0≤n≤N−1，则经过时移后的序列$x(n-m)$x(n−m)仍为有限长序列，其位置移至$m\leq n\leq N+m-1$m≤n≤N+m−1，如下图所示。

当求它们的DFT时，取和的范围出现差异，前者从0到（N-1），后者从m到（N+m-1），当时移位数不同时，DFT取和范围也要随之改变，这给位移序列DFT的研究带来不便。为解决次问题，这样来理解有限长序列的位移：先将原序列$x(n)$x(n)按N周期延拓成$x_p(n)$xp​(n)，然后移m位得到$x_p(n-m)$xp​(n−m)，最后取$x_p(n-m)$xp​(n−m)的主值区间$(0\sim N-1)$(0∼N−1)。如下图所示。

这样的移位具有循环的特性，即$x(n)$x(n)向右移m位时，右边超出$(N-1)$(N−1)的m个样值又从左边依次填补了空位。如果把序列$x(n)$x(n)排列在一个N等分的圆周上，N个样点首尾相接，上面所述的移位可以表示为$x(n)$x(n)在圆周上旋转m位，如下图所示。所谓称为圆周移位，也可称循环移位。当有限长序列进行任意位数的圆周移位后，求序列的DFT时取值范围仍保持在0到N-1不变。

序列$x(n)$x(n)的圆周移位表示为$x((n-m))_NR_N(n)$x((n−m))N​RN​(n)，其中$((n-m))_N$((n−m))N​表示$(n-m)$(n−m)对N取模值，即$(n-m)$(n−m)被N除，整除后所得的余数就是$((n-m))_N$((n−m))N​，而$R_N(n)$RN​(n)是以N为长度的矩形序列，这里是取主值范围的意思。

圆周移位性质表明，如果序列发生了圆周移位m位，那么移位后序列的DFT为原序列的DFT乘以复指数因子$e^{-j\Omega_0 mk}$e−jΩ0​mk，即
$x((n-m))_NR_N(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow} e^{-j\Omega_0 mk}X(k)$x((n−m))N​RN​(n)↔DFTe−jΩ0​mkX(k)
类似地，如果在频域DFT发生了圆周位移$X((k-k_0))_NR_N(k)$X((k−k0​))N​RN​(k)，那么时域序列就乘以一个复指数因子$e^{j\Omega_0k_0 n}$ejΩ0​k0​n，即
$e^{j\Omega_0 k_0 n}x(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow}X((k-k_0))_NR_N(k)$ejΩ0​k0​nx(n)↔DFTX((k−k0​))N​RN​(k)

3. 圆周卷积性质

若$x(n)、h(n)$x(n)、h(n)都是长度为N的有限长序列，且
$x(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k),h(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}H(k)$x(n)↔DFTX(k),h(n)↔DFTH(k)
则
$x(n)\bigotimes h(n) \overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k)H(k)$x(n)⨂h(n)↔DFTX(k)H(k)
则
$x(n)\bigotimes h(n)=\sum_{m=0}^{N-1}x(m)h((n-m))_NR_N(n)$x(n)⨂h(n)=m=0∑N−1​x(m)h((n−m))N​RN​(n)
在圆周卷积中，有一个序列是经过圆周移位处理的，所以称为圆周卷积。有一个序列是经过平移处理，与圆周卷积相区分，称为线性卷积。

区别：

1）设有限长序列$x(n)、h(n)$x(n)、h(n)的长度分别为N和M，按线性卷积定义
$y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m)$y(n)=x(n)∗h(n)=m=−∞∑∞​x(m)h(n−m)
已知$x(m)$x(m)的非零值区间是$0\leq m \leq N-1$0≤m≤N−1，从$h(n-m)$h(n−m)看，非零区间应是$0\leq n-m \leq M-1$0≤n−m≤M−1，考虑m的取值区间，有
$0 \leq n\leq N+M-2$0≤n≤N+M−2
在上式的区间之外，不是$x(m)$x(m)为零，就是$h(n-m)$h(n−m)为零，结果是$y(n)$y(n)取零值。因此，$y(n)$y(n)是长度为$N+M-1$N+M−1的有限长序列。

而对于两序列的圆周卷积，必须规定它们的长度相等，经圆周卷积后所得序列的长度与原序列相同。当两序列长度不等时，可将较短序列补零值构成两个等长序列再作圆周卷积。

2）如果把序列$x(n)、h(n)$x(n)、h(n)都适当地补零值，那么，在作圆周卷积时，向右移去的零值循环回序列的左端，出现与线性卷积相同的情况，即序列左端依次留出等于零值的空位，可见，如果补零值的长度合适，两种卷积的结果有可能一致。可以证明，两序列补零以后的长度L满足
$L\geq N+M-1$L≥N+M−1
它们的圆周卷积与线性卷积结果相同。