离散时间傅里叶变换

回顾离散时间周期信号傅里叶级数

${\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n} \qquad a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}$x[n]=k=<N>∑​ak​ejkN2π​nak​=ak±mN​=N1​n=<N>∑​x[n]e−jkN2π​n​

离散时间非周期信号傅里叶变换

考虑某一序列$x[n]$x[n]具有有限持续期，即在$-N_1 \leq n \leq N_2$−N1​≤n≤N2​以外$x[n]=0$x[n]=0。这个非周期信号可以构成一个周期信号$\tilde x[n]$x~[n]，$x[n]$x[n]是它的一个周期。
$\tilde x[n] = \sum_{k=<N>} a_k e^{jk(2\pi / N)n} a_k = \frac 1N \sum_{n = <N>} \tilde x[n]e^{-jk(2\pi/N)n} = \frac 1N \sum_{n=\infty} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$x~[n]=∑k=<N>​ak​ejk(2π/N)nak​=N1​∑n=<N>​x~[n]e−jk(2π/N)n=N1​∑n=∞​x[n]e−jk(2π/N)n
定义$X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}$X(ejw)=∑n=∞​x[n]e−jwn
其中$a_k = \frac 1N X(e^{jkw_0})$ak​=N1​X(ejkw0​)
$\tilde x[n] = \sum_{k=<N>} \frac 1N X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n} = \frac 1{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0$x~[n]=∑k=<N>​N1​X(ejkw0​)ejkw0​n=2π1​∑k=<N>​X(ejkw0​)ejkw0​nw0​
当$N->\infty$N−>∞，$\tilde x[n]-> x[n]$x~[n]−>x[n]，$w_0->0$w0​−>0
$x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$x[n]=2π1​∫2π​X(ejw)ejwndw
${\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw \qquad (e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}$x[n]=2π1​∫2π​X(ejw)ejwndw(ejw)=n=∞∑​x[n]e−jwn​

例子

• 考虑信号$x[n] = a^nu[n], |a|<1$x[n]=anu[n],∣a∣<1的傅里叶变换
  $X(e^{jw}) = \sum_0^{\infty} (ae^{-jw})^n=\frac 1{1-ae^{-jw}}$X(ejw)=∑0∞​(ae−jw)n=1−ae−jw1​
  
• 考虑方波信号$x[n] = \left\{ \begin{aligned}\ 1 && |n| \leq N_1\\ 0 && other\\ \end{aligned} \right.$x[n]={ 10​​∣n∣≤N1​other​的傅里叶变换
  $X(e^{jw}) = \sum_{n=-N_1}^{N_1}e^{-jwn} = \frac{sinw(N_1+1/2)}{w/2}$X(ejw)=∑n=−N1​N1​​e−jwn=w/2sinw(N1​+1/2)​