梯度、散度、旋度与麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组在大学物理是比较难以理解的一组方程。它们的推导过程与梯度、散度、与旋度具有密切的关系。本文主要通过对三维空间中梯度、散度与旋度的解释来分析麦克斯韦方程组。为了方便表示，这里$f(x,y,z)$f(x,y,z)表示一个含有三个变量x,y,z的一个函数，并且设$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$f(x,y,z)=x2+y2+z2。$\vec{F}=&lt;P,Q,R&gt;$F=<P,Q,R>表示空间中的矢量场。可以是梯度场、速度场、力场等。这里就假设是函数f(x,y,z)对应的梯度场。

0. $\triangledown$▽ 算子

又叫“del”算子，即$&lt;\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}&gt;$<∂x∂​,∂y∂​,∂z∂​>。可以理解为一个符号向量，向量里的元素是偏微分运算符号，没有任何具体意义，只是一个表示方法。

1. 梯度、散度、旋度

有了$\triangledown$▽算子，梯度、散度、旋度都可以用$\triangledown$▽向量来表示。

梯度 gradient

函数$f(x,y,z)$f(x,y,z)(标量)的梯度可以理解为$\triangledown$▽向量与函数的乘积,即：
$grad(f)=\triangledown f= &lt;\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}&gt;f=&lt;\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}&gt;$grad(f)=▽f=<∂x∂​,∂y∂​,∂z∂​>f=<∂x∂f​,∂y∂f​,∂z∂f​>
针对一开始给出的例子，可知： $\triangledown f=&lt;2x,2y,2z&gt;$▽f=<2x,2y,2z>

散度 divergence

散度是表示矢量扩散程度的一个量，是对场的一个运算。散度可以表示为$\triangledown$▽向量与矢量场的点积，这里以$\vec{F}=&lt;P,Q,R&gt;$F=<P,Q,R>为例子，则：
$div(\vec{F})=\triangledown\cdot\vec{F}=&lt;\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}&gt;\cdot&lt;P, Q, R&gt;=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z}$div(F)=▽⋅F=<∂x∂​,∂y∂​,∂z∂​>⋅<P,Q,R>=∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​
假如$\vec{F}$F刚好是f(x,y,z)对应的梯度场，即$\vec{F}=&lt;2x,2y,2z&gt;$F=<2x,2y,2z>则：
$div(\vec{F})=2+2+2=6$div(F)=2+2+2=6

旋度 curl

旋度表示矢量场的选择程度和方向的一个矢量。可以表示为$\triangledown$▽向量与矢量场的叉积。即：
$curl(\vec{F})=\triangledown\times\vec{F}=\begin{vmatrix} \hat{i} &amp; \hat{j} &amp; \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} &amp; \frac{\partial}{\partial x} &amp; \frac{\partial}{\partial z} \\ P &amp; Q &amp; R\end{vmatrix}=&lt;R_{y}-Q_{z}, P_{z}-R_{x}, Q_{x}-P_{y}&gt;$curl(F)=▽×F=∣∣∣∣∣∣​i^∂x∂​P​j^​∂x∂​Q​k^∂z∂​R​∣∣∣∣∣∣​=<Ry​−Qz​,Pz​−Rx​,Qx​−Py​>
假如此处$\vec{F}=\triangledown f$F=▽f， 则：
$curl (\vec{F})=0$curl(F)=0
推论：假如$\vec{F}$F是梯度，则$curl{\vec{F}}$curlF=0

2. Gauss-Green 定理与Stokes 定理

线积分

上图中，$\vec{F}$F是空间中的矢量场， C是含有方向的线段。则$\vec{F}$F对C的积分(理解为物理上的功)可以表示为：
$\int_{C}\vec{F}d\vec{r}=\int_{C}Pdx+Qdy+Rdz$∫C​Fdr=∫C​Pdx+Qdy+Rdz

面积分

上图中，S表示空间中一个曲面，$\hat{n}$n^表示曲面的法向量(两个方向中选一个)。则矢量$\vec{F}$F对曲面S的积分表示通量（Flux），即：
$Flux=\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}dS$Flux=∬S​F⋅n^dS

Gauss-Green 定理

如果S是空间中的封闭曲面，包裹了一个区域D，法向量$\hat{n}$n^向外，$\vec{F}$F在D的每一个区域都定义且可微，则下式成立：
$\oiint_S\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_Ddiv(\vec{F})dV$∬​S​F⋅dS=∭D​div(F)dV
因此，Gauss-Green定理又叫散度定理。

Stokes 定理

如果C是一个封闭曲线，S是以C为边的任意曲面，$\vec{F}$F在S上有定义，$\hat{n}$n^为满足右手定则方向向外，则有如下公式：
$\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_Scurl(\vec{F})\cdot \hat{n}dS$∮C​F⋅dr=∬S​curl(F)⋅n^dS
即：
$\oint_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_S(\triangledown\times\vec{F})\cdot \hat{n}dS$∮C​F⋅dr=∬S​(▽×F)⋅n^dS

推论：如果$\vec{F}$F是梯度场，则线积分是路径无关的。

例如，在上图中，
$\int_{C1}\vec{F}\cdot d\vec{r}-\int_{C2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\oiint\limits_{C:C=C1-C2}\vec{F}\cdot d\vec{r} \xlongequal{stokes}\iint_Scurl(\vec{F})\cdot d\vec{S}$∫C1​F⋅dr−∫C2​F⋅dr=C:C=C1−C2∬​​F⋅drstokes∬S​curl(F)⋅dS
因为梯度场中的curl=0,所以上式为0，即$\int_{C1}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{C2}\vec{F}\cdot d\vec{r}$∫C1​F⋅dr=∫C2​F⋅dr

3. 麦克斯韦方程组

有了上述知识，麦克斯韦方程组就更容易理解。就是Gauss-Green定理和Stokes定理的运用。想要了解的更详细，请参考MIT关于多变量微积分和物理的公开课。