小波变换主篇(3)The Fast Wavelet Transform

上一篇讲述小波变换的计算方法，但是每次计算一个系数实在是太麻烦了，那么相邻尺度空间的系数之间有没有什么规律呢？我们能够通过Vj空间的系数计算出Vj+1空间的系数呢？
答案是可以，但是推导太过于麻烦，我们也只需要知道最终的关系式就行了：

以上分别为连续和离散小波变换的系数快速求解方法。
观察上面的式子，大家觉不觉得上面的式子和卷积的定义式完全相同？于是我们可以将上述式子写成卷积的形式：


上面两个式子的意思就是求完卷积后，在对结果进行偶采样。
于是上述式子可以用下图表示：

也就是说Vj空间可以分解为一个Vj-1和一个Wj-1空间的和，然后再将VJ-1分解为Vj-2和Wj-2的和。
这里给出一个例子，同样拍照片：

上述图片说明：我们用φj=2(x)${\phi }_{j=2}(x)$对数据进行采样得到一组数据，记其为Vj+2然后利用上述公式将其转化为Vj+1和Wj+1空间的和的表示形式，然后再将Vj+1在转化到Vj和Wj空间的表示。
接下来的公式将我们分解的空间重新整合回高频的空间：

就是先将低分辨率空间的系数进行上采样，然后与h$h$函数进行卷积。
例子照片如下：

接下来我们介绍一副在小波变换领域非常有名的一幅图：

上面这幅图说明了小波变换相对于傅里叶变换的优势：
1.当时域间隔很小时，频域间隔很大。
2.当时域间隔很大时，频域间隔很小。
3.当我们用V0空间对数据进行表示时，其时域范围比较广，则其频域间隔就很小，当我们用v1和w1表示时其频域间隔就变大点，当用v2和W2进行表示时其频域范围进一步变大，这样经过小波变换我们就能获得一系列间隔不同的频域图像了。