矩阵

一个4x3矩阵(4行，3列)

方阵

行数和列数相同的矩阵

对角矩阵

所有非对角元素为0

单位矩阵

向量作为矩阵

一个n维向量能被当做1xN矩阵或Nx1矩阵。

矩阵的转置

沿着矩阵的对角线翻转

向量的转置

标量和向量的乘法

矩阵和矩阵相乘

2x2矩阵相乘

3x3矩阵相乘

乘法定律

不满足交换率 (AB!=BA$AB!=BA$）
满足结合律 ((AB)C=A(BC)$(AB)C=A(BC)$ 和标量，向量相乘同样满足)

矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序相乘

向量和矩阵的乘法

1x3矩阵乘3x3矩阵

3x3矩阵乘3x1矩阵

不满足之前提到的规律

DX中使用行向量，openGL使用列向量

几何解释

一般来说，方阵能描述任意线性变换

旋转
缩放
投影
镜像
仿射

根据三角形法则可以将向量转化为以下形式

p, q, r 为 +x, +y, +z 方向的单位基向量
v=px+qy+rz$v=px+qy+rz$
p, q, r 为行构建3x3矩阵

矩阵的每一行都能解释为旋转后的基向量

2D中的变换

3D中的变换

旋转

2D旋转矩阵

3D旋转

旋转需要知道方向的正负(左手法则，右手法则)

大拇指指向旋转轴的正方向，此时，四指玩去的方向就是旋转的正方形

绕X轴旋转

绕Y轴旋转

绕Z轴旋转

绕任意轴旋转

v′=vR(n,θ)$v^{\prime }=vR(n,\theta )$ (n为单位向量，θ为旋转角度)

推导

将V分解为平行于n的VⅡ,和垂直于n的V⊥
V=VⅡ+V⊥$V=VⅡ+V\perp$
V′=VⅡ′+V⊥′$V^{\prime }=V{Ⅱ}^{\prime }+V{\perp }^{\prime }$
∵VⅡ′//n$\because V{Ⅱ}^{\prime }//n$
∴V′=VⅡ+V⊥′$\therefore V^{\prime }=VⅡ+V{\perp }^{\prime }$
∵VⅡ是V在n上的投影$\because VⅡ是V在n上的投影$
∴VⅡ=(nV)n|n|2$\therefore VⅡ=\frac{(nV)n}{|n{|}^2}$
∵n为单位向量$\because n为单位向量$
∴VⅡ=(nV)n$\therefore VⅡ=(nV)n$
∵V=VⅡ+V⊥$\because V=VⅡ+V\perp$
∴V⊥=V−VⅡ$\therefore V\perp =V-VⅡ$
∴V⊥=V−(nV)n$\therefore V\perp =V-(nV)n$
假设w为同时垂直于VⅡ，V⊥的向量，并且长度和V⊥相同，w和V⊥同时垂直于n的平面且w是V⊥绕n旋转90度的结果$假设w为同时垂直于VⅡ，V\perp 的向量，并且长度和V\perp 相同，w和V\perp 同时垂直于n的平面且w是V\perp 绕n旋转90度的结果$
∴w=n×V⊥$\therefore w=n\times V\perp$
=n×(V−VⅡ)$=n\times (V-VⅡ)$
=n×V−n×VⅡ$=n\times V-n\times VⅡ$
=n×V−0$=n\times V-0$
=n×V$=n\times V$
V⊥′=V⊥cosθ+wsinθ$V{\perp }^{\prime }=V\perp cos\theta +wsin\theta$
=(V−(nV)n)cosθ+(n×V)sinθ$=(V-(nV)n)cos\theta +(n\times V)sin\theta$
V′=V⊥′+VⅡ$V^{\prime }=V{\perp }^{\prime }+VⅡ$
=(V−(nV)n)cosθ+(n×V)sinθ+(nV)n$=(V-(nV)n)cos\theta +(n\times V)sin\theta +(nV)n$

已经得到V’与v，n，θ的关系了，所以可以求出个基向量

缩放

2D缩放

3D缩放

沿任意方向缩放

n为缩放方向上的单位向量，k为缩放系数$n为缩放方向上的单位向量，k为缩放系数$
V′=VⅡ′+V⊥′$V^{\prime }=V{Ⅱ}^{\prime }+V{\perp }^{\prime }$
∵V⊥′⊥n$\because V{\perp }^{\prime }\perp n$
∴V⊥′=V⊥$\therefore V{\perp }^{\prime }=V\perp$
∴V′=VⅡ′+V⊥$\therefore V^{\prime }=V{Ⅱ}^{\prime }+V\perp$
VⅡ′=kVⅡ$V{Ⅱ}^{\prime }=kVⅡ$
∴V′=kVⅡ+V⊥$\therefore V^{\prime }=kVⅡ+V\perp$
∵V⊥=V−VⅡ$\because V\perp =V-VⅡ$
VⅡ=(nV)n$VⅡ=(nV)n$
∴V′=k(nV)n+V−(nV)n$\therefore V^{\prime }=k(nV)n+V-(nV)n$
=V+(k−1)(nV)n$=V+(k-1)(nV)n$

所以可以得出个基向量

2D缩放

3D缩放

镜像

2D镜像

3D镜像

组合变换

最常见的比如mvp矩阵

变换分类

线性变换

F(a+b)=F(a)+F(b)$F(a+b)=F(a)+F(b)$
F(ka)=kF(a)$F(ka)=kF(a)$

仿射变换

仿射变换指线性变换后接着平移，因此仿射变换是线性变换的超集

可逆变换

如果存在一个逆变换可以撤销原变换，那么该变换可逆，除了投影变换其他基本变换均可逆，求逆矩阵等价于求矩阵的逆

等角变换

正交变换的基本思想是轴保持相互垂直，而且不进行缩放变换，平移，旋转，镜像是仅有的正交变换，正交矩阵的行列式为±1，所有正交矩阵都是仿射和可逆的

刚体变换