正交矩阵

• UUT=UTU=I$U{U}^T=U^{T}U=I$，且U$U$是实数向量，则U是正交矩阵。可知U$U$的行（列）向量都是单位范数并且正交的。det(U)=1or−1$det(U)=1or-1$

• 行列式为+1的n维正交矩阵可以看作是n维旋转

• 正交矩阵的保范性质：(Ux)T(Ux)=xTx$(Ux{)}^T(Ux)=x^{T}x$

• 基变换矩阵：
  (β1,⋯,βn)=(α1,⋯,αn)⎡⎣⎢⎢a11⋮am1a12⋮am2......a1n⋮amn⎤⎦⎥⎥=(α1,⋯,αn)A$({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n)=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right]=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)A$

  X$X$是在基α$\alpha$下的坐标，Y是在基β$\beta$下的坐标，则Y=A−1X$Y=A^{-1}X$

  证明：αX=βY=αAY$\alpha X=\beta Y=\alpha AY$，所以Y=A−1X$Y=A^{-1}X$

可以看出，坐标轴整体旋转⇒$\Rightarrow$基变换矩阵是正交矩阵(+1)⇒$\Rightarrow$坐标左乘正交矩阵(+1)。

• Givens旋转和RQ分解
  RQ分解是A=RQ，R是上三角矩阵，Q是正交矩阵。
  Givens旋转：
  

  Qx=⎡⎣⎢1cs−s−c⎤⎦⎥，Qy=⎡⎣⎢c−s1sc⎤⎦⎥，Qz=⎡⎣⎢cs−sc1⎤⎦⎥$$Q_x=\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & c& -s\\ & s& -c\end{array}\right]，Q_y=\left[\begin{array}{ccc}c& & s\\ & 1& \\ -s& & c\end{array}\right]，Q_z=\left[\begin{array}{ccc}c& -s& \\ s& c& \\ & & 1\end{array}\right]$$
  
  其中，c=cos(θ)，s=sin(θ)$c=cos(\theta )，s=sin(\theta )$。旋转方向都是逆时针，分别是y->z，z->x，x->y。之所以,Qy$Q_y$有所不同是因为（x，y，z）的坐标现后顺序。
  分解步骤：（1）AQx$A{Q}_x$使A32=0$A_{32}=0$；（2）AQxQy$A{Q}_x{Q}_y$使A31=0$A_{31}=0$；（3）AQxQyQz$A{Q}_x{Q}_y{Q}_z$使A21=0$A_{21}=0$。得到的前两列是原来前两列的线性组合，所以A32,A31$A_{32},A_{31}$仍为0

• 分解中，Q$Q$是正交矩阵，U$U$是酉矩阵，R$R$是上三角矩阵，L$L$是下三角矩阵

• Householder矩阵和QR分解
  
  
  

采用Householder矩阵作矩阵乘法时，应利用矩阵的特殊形式来加速计算