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基于移动最小二乘的图像变形

分类: 文章 • 2024-03-20 09:04:28


原文地址：http://blog.****.net/hjimce/article/details/46550001

作者：hjimce

一、背景意义

写这篇博文是应为目前为止我看到了好多领域里的经典paper算法都有涉及到移动最小二乘（MLS）。可见这个算法非常重要，先来看一下它的相关经典应用：

1、图像变形。在图像处理领域paper：《Image Deformation Using Moving Least Squares》利用移动最小二乘的原理实现了图像的相关变形，而且这篇paper的引用率非常高，可以说是图像变形算法的经典算法，Siggraph上面的paper。

基于移动最小二乘的图像变形

利用移动最小二乘实现图像变形

2、点云滤波。利用MLS实现点云滤波，是三维图像学点云处理领域的一大应用，我所知道点云滤波经典算法包括：双边滤波、MLS、WLOP。

3、Mesh Deformation。用这个算法实现三角网格模型的变形应用也是非常不错的，相关的paper《3D Deformation Using Moving Least Squares》

OK，接着我就以《Image Deformation Using Moving Least Squares》算法为例，进行讲解基于移动最小二乘的图像变形算法实现。

二、算法实现

在这里我没有打算将算法原理的推导过程，直接讲算法的实现步骤公式。

这篇paper根据变换矩阵的不同，可以分为三种变形方法，分别是仿射变换、相似变换、刚性变换。其中刚性变换的效果是最好的，我这边从简单的讲，只讲仿射变换的变形算法实现：

问题：原图像的各个控制顶点坐标p，原图像上的像素点v的坐标。变形后图像的控制顶点位置q，求v在变形后图像中对应位置f(v)。

总计算公式为：

基于移动最小二乘的图像变形

上面中lv(x)和f(v)是同一个函数。因为x就是我们输入的原图像的像素点坐标v。

因此我们的目标就是要知道p*，q*，变换矩阵M。这样输入一个参数x，我们就可以计算出它在变换后图像中的位置了。

OK，只要我们知道上面公式中，各个参数的计算方法，我们就可以计算出变形后图像对应的坐标点f(v)了。

1、权重w的计算方法为：

基于移动最小二乘的图像变形

也就是计算v到控制顶点pi的距离倒数作为权重，参数a一般取值为1。

这一步实现代码如下：

[cpp] view plain copy
  1. //计算各个控制顶点的权重，也就是计算点t到各个顶点的距离1/sqr(d)  
  2. while(iter!=p.end())  
  3. {  
  4.     double temp;  
  5.     if(iter->x!=t.x || iter->y!=t.y)  
  6.         temp=1/((iter->x-t.x)*(iter->x-t.x)+(iter->y-t.y)*(iter->y-t.y));  
  7.     else//如果t为控制顶点，那么需要把该控制顶点的权重设置为无穷大  
  8.         temp=MAXNUM;  
  9.     w.push_back(temp);  
  10.     iter++;  
  11. }  
2、q*，p*的计算公式如下：

基于移动最小二乘的图像变形
也就是计算控制顶点pi和qi的加权求和重心位置。

[cpp] view plain copy
  1. double px=0,py=0,qx=0,qy=0,tw=0;  
  2. while(iterw!=w.end())  
  3. {  
  4. px+=(*iterw)*(iter->x);//所有控制顶点p的加权位置  
  5. py+=(*iterw)*(iter->y);  
  6. qx+=(*iterw)*(iterq->x);//所有控制顶点q的加权位置  
  7. qy+=(*iterw)*(iterq->y);  
  8. tw+=*iterw;//总权重  
  9. iter++;  
  10.    iterw++;  
  11. iterq++;  
  12. }  
  13. pc.x=px/tw;  
  14. pc.y=py/tw;  
  15. qc.x=qx/tw;  
  16. qc.y=qy/tw;  
3、仿射变换矩阵M的计算公式如下:

基于移动最小二乘的图像变形

基于移动最小二乘的图像变形基于移动最小二乘的图像变形

只要把相关的参数都带进去就可以计算了。

最后贴一些完整的MLS源代码：

[cpp] view plain copy
  1. //输入原图像的t点，输出变形后图像的映射点f(v)  
  2. MyPoint CMLSDlg::MLS(const MyPoint& t)  
  3. {  
  4.     if(p.empty())//原图像的控制顶点p，与输入点t为同一副图像坐标系下  
  5.         return t;  
  6.     MyPoint fv;  
  7.     double A[2][2],B[2][2],M[2][2];  
  8.     iter=p.begin();  
  9.     w.erase(w.begin(),w.end());  
  10.     //计算各个控制顶点的权重，也就是计算点t到各个顶点的距离1/sqr(d)  
  11.     while(iter!=p.end())  
  12.     {  
  13.         double temp;  
  14.         if(iter->x!=t.x || iter->y!=t.y)  
  15.             temp=1/((iter->x-t.x)*(iter->x-t.x)+(iter->y-t.y)*(iter->y-t.y));  
  16.         else//如果t为控制顶点，那么需要把该控制顶点的权重设置为无穷大  
  17.             temp=MAXNUM;  
  18.         w.push_back(temp);  
  19.         iter++;  
  20.     }  
  21.     vector<double>::iterator iterw=w.begin();  
  22.     vector<MyPoint>::iterator iterq=q.begin();//q为目标图像的控制点的位置，我们的目标是找到t在q中的对应位置  
  23.     iter=p.begin();  
  24.     MyPoint pc,qc;  
  25.     double px=0,py=0,qx=0,qy=0,tw=0;  
  26.     while(iterw!=w.end())  
  27.     {  
  28.     px+=(*iterw)*(iter->x);//所有控制顶点p的加权位置  
  29.     py+=(*iterw)*(iter->y);  
  30.     qx+=(*iterw)*(iterq->x);//所有控制顶点q的加权位置  
  31.     qy+=(*iterw)*(iterq->y);  
  32.     tw+=*iterw;//总权重  
  33.     iter++;  
  34.     iterw++;  
  35.     iterq++;  
  36.     }  
  37.     pc.x=px/tw;  
  38.     pc.y=py/tw;  
  39.     qc.x=qx/tw;  
  40.     qc.y=qy/tw;  
  41.     iter=p.begin();  
  42.     iterw=w.begin();  
  43.     iterq=q.begin();  
  44.     for(int i=0;i<2;i++)  
  45.     for(int j=0;j<2;j++)  
  46.     {  
  47.     A[i][j]=0;  
  48.     B[i][j]=0;  
  49.     M[i][j]=0;  
  50.     }  
  51.     while(iter!=p.end())  
  52.     {  
  53.   
  54.     double P[2]={iter->x-pc.x,iter->y-pc.y};  
  55.     double PT[2][1];  
  56.     PT[0][0]=iter->x-pc.x;  
  57.     PT[1][0]=iter->y-pc.y;  
  58.     double Q[2]={iterq->x-qc.x,iterq->y-qc.y};  
  59.     double T[2][2];  
  60.      
  61.     T[0][0]=PT[0][0]*P[0];  
  62.     T[0][1]=PT[0][0]*P[1];  
  63.     T[1][0]=PT[1][0]*P[0];  
  64.     T[1][1]=PT[1][0]*P[1];  
  65.   
  66.     for(int i=0;i<2;i++)  
  67.     for(int j=0;j<2;j++)  
  68.     {  
  69.     A[i][j]+=(*iterw)*T[i][j];  
  70.     }  
  71.     T[0][0]=PT[0][0]*Q[0];  
  72.     T[0][1]=PT[0][0]*Q[1];  
  73.     T[1][0]=PT[1][0]*Q[0];  
  74.     T[1][1]=PT[1][0]*Q[1];  
  75.       
  76.     for(int i=0;i<2;i++)  
  77.     for(int j=0;j<2;j++)  
  78.     {  
  79.     B[i][j]+=(*iterw)*T[i][j];  
  80.     }  
  81.   
  82.     iter++;  
  83.     iterw++;  
  84.     iterq++;  
  85.     }  
  86.     //cvInvert(A,M);  
  87.     double det=A[0][0]*A[1][1]-A[0][1]*A[1][0];  
  88.     if(det<0.0000001)  
  89.     {  
  90.         fv.x=t.x+qc.x-pc.x;  
  91.         fv.y=t.y+qc.y-pc.y;  
  92.         return fv;  
  93.     }  
  94.     double temp1,temp2,temp3,temp4;  
  95.     temp1=A[1][1]/det;  
  96.     temp2=-A[0][1]/det;  
  97.     temp3=-A[1][0]/det;  
  98.     temp4=A[0][0]/det;  
  99.     A[0][0]=temp1;  
  100.     A[0][1]=temp2;  
  101.     A[1][0]=temp3;  
  102.     A[1][1]=temp4;  
  103.   
  104.   
  105.     M[0][0]=A[0][0]*B[0][0]+A[0][1]*B[1][0];  
  106.     M[0][1]=A[0][0]*B[0][1]+A[0][1]*B[1][1];  
  107.     M[1][0]=A[1][0]*B[0][0]+A[1][1]*B[1][0];  
  108.     M[1][1]=A[1][0]*B[0][1]+A[1][1]*B[1][1];  
  109.   
  110.     double V[2]={t.x-pc.x,t.y-pc.y};  
  111.     double R[2][1];  
  112.     
  113.     R[0][0]=V[0]*M[0][0]+V[1]*M[1][0];//lv（x）总计算公式  
  114.     R[1][0]=V[0]*M[0][1]+V[1]*M[1][1];  
  115.     fv.x=R[0][0]+qc.x;  
  116.     fv.y=R[1][0]+qc.y;  
  117.   
  118.     return fv;  
  119. }  


调用方法示例：

[cpp] view plain copy
  1.    int i=0,j=0;  
  2. dImage=cvCreateImage(cvSize(2*pImage->width,2*pImage->height),pImage->depth,pImage->nChannels);//创建新的变形图像  
  3. cvSet(dImage,cvScalar(0));  
  4. MyPoint Orig=MLS(MyPoint(IR_X,IR_Y));  
  5. int Orig_x=(int)(Orig.x)-(int)(pImage->width/2);  
  6. int Orig_y=(int)(Orig.y)-(int)(pImage->height/2);  
  7.   
  8. for(i=0;i<pImage->height;i++)//遍历原图像的每个像素  
  9. {  
  10.     for(j=0;j<pImage->width;j++)  
  11.     {  
  12.         CvScalar color;  
  13.         double x=j+IR_X;  
  14.         double y=i+IR_Y;  
  15.         MyPoint t=MLS(MyPoint(x,y));//MLS计算原图像(x,y)在目标图像的映射位置f(v)  
  16.         int m=(int)(t.x);  
  17.         int n=(int)(t.y);  
  18.         m-=Orig_x;  
  19.            n-=Orig_y;  
  20.         color=cvGet2D(pImage,i,j);//像素获取  
  21.         if(0<=m && dImage->width>m && 0<=n && dImage->height>n)  
  22.         {  
  23.         cvSet2D(dImage,n,m,color);  
  24.         }  
  25.     }  
  26. }  
图像变形算法，有正向映射和逆向映射，如果按照每个像素点，都通过上面的计算方法求取其对应变换后的像素点位置，那么其实计算量是非常大的，因为一幅图像的像素点，实在是太多了，如果每个像素点，都用上面的函数遍历过一遍，那计算量可想而知。

因此一般的变形算法是对待图像进行三角剖分：

基于移动最小二乘的图像变形

然后只根据只对三角网格模型的顶点，根据变形算法，计算出三角网格模型每个顶点的新位置，最后再用三角形仿射变换的方法，计算三角形内每个像素点的值，得到变形后的图像，这样不仅速度快，同事解决了正向映射与逆向映射变形算法存在的不足之处，具体图像变形的正向和逆向映射存在的缺陷，可以自己查看相关的文献。

另外两种相似变换和刚性变换，可以自己查看M矩阵的计算公式，编写实现相关代码。

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参考文献：

1、《Image Deformation Using Moving Least Squares》

2、《3D Deformation Using Moving Least Squares》

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