有限长序列傅里叶分析

1、四种信号的傅里叶变换

2、四种信号时域与频域之间内在的对应关系

我们回顾一下两个抽样定理的内容，如下所示：

四种信号从时域变换到频域的波形图如下所示：
由上图可知，只有最后一种能计算。DFS可以建立起和其他三种信号频谱之间的联系。
离散周期信号的DFS，可以用来估算其他三种信号的频谱。

3、从DFS到DFT

而DFS是一个周期序列，为了描述方便，我们引入有限长序列，如下图所示：

那么有限长的序列与周期序列在分析方法上能否等同对待？

离散周期序列的 DFS 表达式如下：

这是在整个周期定义的。既然在整个周期都成立，那么在一个周期内也成立，那么就可以得到离散傅里叶变换 DFT，如下图所示：
同理，我们可以得到 DFT 的逆变换 IDFT，如下图所示：
从上面的表达式可以看到：实际上 DFT 就是 DFS 在一个周期内的取值，IDFT 就是 IDFS 在一个周期内的取值。
下图是DFT和IDFT的完整表达：
上面说到 DFS 可以建立起和其他三种信号频谱之间的联系。那么，显然 DFT 也可以和其他四种信号频谱建立起相应的关系。
引入离散傅里叶变换，不仅可以用来进行信号频谱的分析，也可以用来进行信号的其他处理，比如用来计算信号的卷积等等。