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概要

上节讲到了一般化理论，当假设空间中存在断点，资料够多的时候，那么我们可以保证Ein和Eout接近。

VC维的定义

上节课我们证明了VC 边界。

同时，根据霍夫丁不等式；

当
1）假设空间存在断点
2）资料足够大
3）假设空间中存在一个假设函数，使得Ein足够小。

那么我们就可以得到机器学习是可行的。
VC维的定义是来自上节中我们讲到的断点。
VC维是在假设空间中，给定资料足够大的情况下，最大能够shatter点的个数，是不是很像断点的定义，断点是指第一个不能被shatter点的个数。所以。

当资料量小于dvc，那么我们的资料可能会被shatter掉，当资料量大于dvc一定不能被假设空间shatter。所以我们的成长函数可以表示为：

如下表示了4种情况下的VC 维情况。

当vc维是有限的情况下，会保证机器学习可行。
同时vc维和演算法A无关，和分布P无关，和目标函数f无关。

在坏的情况下，也保证是可以学习的。

如果存在一个N笔资料不能被shatter，那么dvc是小于N呢？答案是不是的，只有任意N笔资料不能被shatter才行，dvc是指的最大能够shatter的个数

PLA的VC维

我们以二维空间下的PLA为例，假如资料是线性可分的，那么我们知道假设空间中存在g使得Ein=0

又因为我们知道二维空间下的VC维是有限的，所以我们在资料量足够大的情况下证明Eout也接近0。

这是在二维的情况下，那么在三维，四维或者更高维度呢？VC维到底是多少呢？
我们知道PLA在1维的时候，dvc=2
在二维的时候，dvc=3
那么再N维的时候是不是dvc=N+1？
如果要证明dvc=N+1，需要证明dvc≤N+1 ,且dvc≥N+1

下面进行证明，首先证明dvc≥d+1

要证明dvc≤d+1,那么就是对于任意的d+2个点都不能shatter。

同理，我们给定(d+2)*(d+1)的一个矩阵，那么这个矩阵一定是线性相关的。所以总有一笔资料是可以用其他资料来表示的。那么就会导致其他的资料确定了之后，那么这笔资料就确定了，而shatter是要表示任意的两种情况，现在却是确定的。就是表示任意的d+2笔资料是不能被shatter的。

所以证明了d维的PLA的vc维是d+1。

VC维的物理直觉

上面中我们其实证明了假设空间的维度和VC维的关系。
比如上面的，PLA的维度和VC维度是有关系的，这也是为啥是叫VC 维。

VC维的物理意义其实就是在二分类的情况下，假设空间的自由度。或者说是维度。就像上面的旋钮的个数。而对应的是一般情况下算法的参数个数，比如为什么神经网络容易过拟合，就是因为参数太多了，vc维太大导致的嘛。
我们再回到第五节讲到的M，看看M和dvc的关系。

根据霍夫丁不等式，当M很小的时候，对应dvc 也比较小，那么会导致假设空间中备选函数少，那么久不太可能使得Ein比较小。但是Ein和Eout和很接近。
同理当M很大的时候，可以得到相应的结论。

VC维的解释

在霍夫丁不等式中，我们知道坏事情发生的概率是在一个范围内，反过来讲就是好事情限定在1减去这个概率中。
如下图所示：

上面的一张图就解释了为啥当我们选用很复杂的模型的时候，就是vc维比较大，模型复杂度高，这样E(out)也会变大，这就gg了。
所以这里也建议在机器学习中不要一上来就采用复杂的模型，一般是从简单的模型开始，比如LR，svm等。

我们再来看看数据量大小的评估

这里假设坏事情发生的概率 δ=0.1 就是希望在未知样本的正确率达到90%。同时呢ϵ=0.1。就是Ein和Eout相差比较近。采用2D的PLA。
就得到
1）如果我们需要达到这样的小姑，需要10000*dvc的样本量就是30000个点。
2）实际过程的时候，其实只需要10*dvc。

为啥差异这么大呢？如果你仔细看了整个推导过程就能够发现，这里用了太多的上界叠加。

又四个点：
1）霍夫丁不等式是对容易的分布，任意的目标函数都成立的，一般来说我们的资料都是有特定分布得。
2）我们使用了成长函数来估计假设空间的大小
3）我们用了Ndvc来估计成长函数，这就放的很宽松了
4）我们使用了叠加的方式，对于发生不好几率的情况下。

所以这些状况进行了叠加导致通过公式计算需要大量的样本，实际情况则不然。但是要想在公式上进一步压缩，现在看来还不太行。

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