2018.09 大三上 组合数学课堂讲义

卡特兰数定义

卡特兰数的性质

记住前几项：$C_0$C0​ =1，$C_1$C1​ = 1，$C_2$C2​ = 2，$C_3$C3​ = 5，$C_4$C4​ = 14

卡特兰数问题一般都存在匹配关系

（1）求组合数形式
$C_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1}$Cn​=n+1(n2n​)​
求组合数有四种方法，详见：常用算法代码模版4—数学知识
（2）递推形式
$C_n = \frac{4n-2}{n + 1}C_{n-1}，\text{其中}C_0 = C_1 = 1$Cn​=n+14n−2​Cn−1​，其中C0​=C1​=1
可以用递归来求，也可以用记忆化数组来求（空间换时间）

（3）基本公式
$C_{n+1} = \sum _ {i = 0} ^ n C_i C _ {n - i}，\text{其中}C_0 = C_1 = 1$Cn+1​=i=0∑n​Ci​Cn−i​，其中C0​=C1​=1
或者
$f_n = f_0 * f_{n-1} + f_1 * f_{n - 2} + \cdots + f_{n-1}*f_0，其中n >= 2$fn​=f0​∗fn−1​+f1​∗fn−2​+⋯+fn−1​∗f0​，其中n>=2
可以用二重循环求

说明：通常满足上面任意公式的都是卡特兰数

卡特兰数四个公式（简单）

注意：由于卡特兰数增长速度较快，当 n 等于 17 时，卡特兰数将会超过 int 最大值，造成溢出（Python 除外），建议用long long来存。对于 Java 语言来说，可以使用 BigInteger 来计算大整数。

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—— 摘自Wikipedia

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卡特兰数证明（折线法）（n和m相同）

卡特兰数$C_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1} = \frac{C(2n,n)}{n + 1}$Cn​=n+1(n2n​)​=n+1C(2n,n)​

LeetCode 96. 不同的二叉搜索树

LeetCode 题解 | 96. 不同的二叉搜索树（卡特兰数 C++）

n + 1 个叶子节点能够构成多少种形状不同的满二叉树

满二叉树的每个非叶子结点一定都有左右子树（匹配关系）

使用深度优先搜索这个满二叉树，向左扩展时标记为 +1，向右扩展时标记为 -1

一个卡特兰序列(n + 1个点)对应一棵满二叉树

例：买票

绘画展览门票每张5元，如果有2n个人排队购票，每人一张，并且其中一半人恰有5元钱，另一半人恰有10元钱，而票房无零钱可找，那么如何将这2n个人排成一列，顺次购票，使得不至于因票房无零钱可找而耽误时间，应该采用什么算法解决呢？

例：图书馆借还书

在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

解：队伍是排成一列的，联想Catalan证明的图

$h(3)=6!/(3!*4!)=5$h(3)=6!/(3!∗4!)=5，所以$\text{总数}=h(3)*3!*3!=180$总数=h(3)∗3!∗3!=180

注意：算种类时，最后要乘以3!和3!

例：出栈顺序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

思路
将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。进栈相当于+1，出栈相当于-1

如：序列1 2 3的出栈序列可以表示为+1,-1,+1,+1,-1,-1

例：括号匹配

n 对括号，则有多少种 “括号匹配” 的括号序列？

思路
左括号看成 +1，右括号看成 -1，类似进出栈

例：2*n矩阵（每行递增，每列递增）

思路
把第一排看作进栈+1，第二排看作出栈-1，同时要一直保证第一排填充的数大于等于第二排填充的数（递增要求）
按照 1 到 2n 的顺序填入矩阵，$1$1 放第一排，对应卡特兰序列中$x_1=+1$x1​=+1，…

显然：长度为2n的卡特兰序列与2 X n矩阵的填法一一对应

不相交弦问题

在一个圆周上分布着 2n 个点，两两配对，并在这两个点之间连一条弦，要求所得的 2n 条弦彼此不相交的配对方案数

思路
满足 $f_n = f_0 * f_{n-1} + f_1 * f_{n - 2} + \cdots + f_{n-1}*f_0，其中n >= 2$fn​=f0​∗fn−1​+f1​∗fn−2​+⋯+fn−1​∗f0​，其中n>=2 的一定是卡特兰数

Leetcode 1259：不相交的握手
这题一看样例就知道是卡特兰数

例：典型例题

提升题：电影购票（n和m不同）

当进栈 +1 有 m 个， 出栈 -1 有 n 个时，序列共有$C_{m+n} ^ m - C _ {m + n} ^ {m + 1}$Cm+nm​−Cm+nm+1​种可能性

电影票一张 50 coin，且售票厅没有 coin。m 个人各自持有 50 coin，n 个人各自持有 100 coin。则有多少种排队方式，可以让每个人都买到电影票？

思路
持有 50 coin 的人看作 +1，持有 100 coin 的人看作 -1，类似进出栈问题
与卡特兰数不同的是，这里有 m 个 +1，有 n 个 -1

我们还是可以用折线法来解决这个问题：

由于排队有先后顺序，所以总共有 $(C_{m+n} ^ m - C _ {m + n} ^ {m + 1}) * m! * n !$(Cm+nm​−Cm+nm+1​)∗m!∗n!种可能

注：$C_{m+n} ^ m - C _ {m + n} ^ {m + 1}$Cm+nm​−Cm+nm+1​这部分直接推导即可

参考资料

[1] 卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利
[2] 【证明】卡特兰数（折线法）
[3] 一道面试题到卡特兰数及其应用
[4] 卡特兰数（catalan数）总结 （卡特兰大数、卡特兰大数取模、卡特兰数应用）
[5] 卡特兰(Catalan)数入门详解 —— 例题的证明讲得不错
[6] LeetCode -「算法入门笔记」卡特兰数