本文整理了正态分布的一些常用的性质，以供备忘之用。

概念

概率密度函数

若连续型随机变量X的概率密度为

f (x) = 1 2 π - - \sqrt σ e - (x - μ) 2 2 σ 2, - \infty < x < + \infty

则称X服从参数为μ，σ2的正态分布，记为X∼N(μ,σ2)

其密度函数的图形为：
正态分布的一些事儿

其特征主要有：
1. 关于直线x=μ 对称；
2. 在x=μ 处达到最大值；
3. 在x=μ±σ 处有拐点；
4. x→∞ 时曲线以x轴为渐近线；
5. 固定σ，改变μ，则图形沿x轴平移而不改变其形状；固定μ，改变σ，则当σ越小，曲线越陡峭，当σ越大时，曲线越平坦。

F (x) = \int x - \infty 1 2 π - - \sqrt σ e - (x - μ) 2 2 σ 2 d x ， - \infty < x < + \infty

X \sim N (0, 1)

- 密度函数：

φ (x) = 1 2 π - - \sqrt e - x 2 2

- 分布函数：

Φ (x) = \int x - \infty 1 2 π - - \sqrt e - x 2 2 d x

- 性质
1. Φ(−x)=1−Φ(x)
2. Φ(0)=0.5

两个服从正态分布的随机变量加减之后仍然是正态分布。
例如，A∼N(μ1,σ1)，B∼N(μ2,σ2)，A+B∼N(μ1+μ2,σ21+σ22+cov(A,B))
两个正态分布密度的乘积还是正态分布。
两个正态分布密度的卷积还是正态分布，也就是两个正态分布的和还是正态分布。
正态分布N(0,σ2)的傅立叶变换还是正态分布。
中心极限定理保证了多个随机变量的求和效应将导致正态分布。
正态分布和其它具有相同方差的概率分布相比，具有最大熵。
二项分布B(n,p)在n很大逼近正态分布N(np,np(1−p))。
泊松分布Poisson(λ)在λ较大时逼近正态分布N(λ,λ)。
χ2(n)在n很大的时候接近正态分布N(n,2n)。
t分布在n很大时接近标准正态分布N(0,1)。
正态分布的共轭分布还是正态分布。
几乎所有的极大似然估计在样本量n增大的时候都趋近于正态分布。
Cramer分解定理：如果X，Y是独立的随机变量，且S=X+Y是正态分布，那么X，Y也是正态分布。
如果X，Y独立且满足正态分布N(μ,σ2)，那么X+Y，X−Y独立且同分布，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布。
对于两个正态分布X，Y，如果X，Y不相关则意味着X，Y独立，而正态分布是唯一满足这一性质的概率分布。