剑指offer——递归
目录
剑指Offer（七）：斐波那契数列
答案来自：https://blog.****.net/c406495762/article/details/79247243
https://cuijiahua.com/blog/2017/11/basis_7.html
题目
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。（n<=39）
斐波那契数列公式为：
1、思路
这道题递归很好写，但是存在很严重的效率问题。我们以求解f(10)为例类分析递归的求解过程。想求f(10)，需要先求得f(9)和f(8)。同样，想求得f(9)，需要先求的f(8)和f(7)....我们可以用树形结构来表示这种依赖关系，如下图所示：
我们不难发现在这棵树中有很多结点是重复的，而且重复的结点数会随着n的增加而急剧增加，这意味计算量会随着n的增加而急剧增大。事实上，递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。
所以，使用简单的循环方法来实现，从小往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)...直到算出f(n).
2、代码
C++:
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
if(n <= 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
int first = 0, second = 1, third = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
third = first + second;
first = second;
second = third;
}
return third;
}
};剑指Offer（八）：跳台阶
题目
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
1、思路
首先我们考虑最简单的情况。如果只有1级台阶，那么显然只一种跳法。如果有2级台阶，那就有两种跳法：一种是分两次跳，每次跳1级；另一种是一次跳2级。
接着，我们来讨论一般情况。我们把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1)；另外一种选择是跳一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，我们不难看出这实际上就是斐波那契数列了。
2、代码
C++:
class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
if(number <= 0){
return 0;
}
else if(number < 3){
return number;
}
int first = 1, second = 2, third = 0;
for(int i = 3; i <= number; i++){
third = first + second;
first = second;
second = third;
}
return third;
}
};剑指Offer（九）：变态跳台阶
题目
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
1、思路
我想说，这青蛙真变态，真能跳。
- 当n=1时，结果为1；
- 当n=2时，结果为2；
- 当n=3时，结果为4；
以此类推，我们使用数学归纳法不难发现，跳法f(n)=2^(n-1)。
2、代码
C++:
class Solution {
public:
int jumpFloorII(int number) {
if(number == 0){
return 0;
}
int total = 1;
for(int i = 1; i < number; i++){
total *= 2;
}
return total;
}
};剑指Offer（十）：矩形覆盖
题目
我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？
1、思路
以2x8的矩形为例。示意图如下：
我们先把2x8的覆盖方法记为f(8)。用第一个1x2小矩阵覆盖大矩形的最左边时有两个选择，竖着放或者横着放。当竖着放的时候，右边还剩下2x7的区域，这种情况下的覆盖方法记为f(7)。接下来考虑横着放的情况。当1x2的小矩形横着放在左上角的时候，左下角和横着放一个1x2的小矩形，而在右边还剩下2x6的区域，这种情况下的覆盖方法记为f(6)。因此f(8)=f(7)+f(6)。此时我们可以看出，这仍然是斐波那契数列。
2、代码
C++:
class Solution {
public:
int rectCover(int number) {
if(number <= 2){
return number;
}
int first = 1, second = 2, third = 0;
for(int i = 3; i <= number; i++){
third = first + second;
first = second;
second = third;
}
return third;
}
};