关于单调增和单调不减

$设f(x)在区间I上可导，则$设f(x)在区间I上可导，则

$f'(x)>0 \implies f(x)单调增$f′(x)>0⟹f(x)单调增

证明:(用拉格朗日中值定理)

不能反过来，反例：$x^3$x3

$f'(x) \ge 0 \Longleftrightarrow f(x)单调不减$f′(x)≥0⟺f(x)单调不减

左推右:(拉格朗日中值定理)

右推左：

用定义

反证

$f(x)增 和 f'(x)增关系$f(x)增和f′(x)增关系の经典的错误

常见的奇偶函数

奇函数在$x=0$x=0有定义，则$f(x_0)=0$f(x0​)=0

导一下奇偶性变一下

$设f(x)可导，f(x)是奇函数 \implies f'(x)是偶函数$设f(x)可导，f(x)是奇函数⟹f′(x)是偶函数

证明：
$f(-x)=-f(x) \\ -f'(-x)=-f'(x) \\ f'(-x)=f'(x)$f(−x)=−f(x)−f′(−x)=−f′(x)f′(−x)=f′(x)

例子：

连续的奇函数其原函数都是偶函数

连续的偶函数器原函数中有唯一一个是奇函数

设$$连续

若$f(x)$f(x)是奇函数，则$\int_0^x f(t)dt$∫0x​f(t)dt是偶函数

几何上的理解の经典错误：

因为定积分定义中是上限大于下限的

$这里也可以写成\int_a^x f(t)dt$这里也可以写成∫ax​f(t)dt

若$f(x)$f(x)是偶函数，则$\int_0^x f(t)dt$∫0x​f(t)dt是奇函数

这里的下限零就不可以写成$a$a

奇偶性应用:对称区间上的定积分

常见周期

可导的周期函数其导函数为周期函数

周期函数的原函数不一定是周期函数

要其在一个周期上的积分为零才可以

判定周期函数

常见的有界

$函数f(x)在[a,b]上连续 \implies f(x)在[a,b]上有界$函数f(x)在[a,b]上连续⟹f(x)在[a,b]上有界

开区间有界条件

导函数有界性和函数有界性之间的关系

例一

左端点右极限和右端点左极限存在

例二

例 3

一点导数大于零只能得到这一点单调增
只能得到其某邻域内某一点与这一点的大小关系

经典反例

另外，之后

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