北邮考研高数:第一章

第一章 函数 极限 连续
第二节 极限
题型二 求极限
分支二 数列的极限
共有6张图
共有17道题

数列的极限分3种形式
第一种形式是和
第二种形式是乘
第三种形式是递推关系定义的数列
关于和有三种方法
第一种方法是夹逼准则
第二种方法是用定积分定义
第三种方法是使用级数求和
关于乘有2种方法
第一种方法夹逼准则
第二种方法就是取对数
关于递推关系有2种方法
第一种方法使用单调有界数列必有极限
第二种方法先另其极限是a，然后证明极限就是a

第一题

首先你需要知道一个结论
当变化部分的最高次相对于主体部分是底次时
使用夹逼准则，如果是同量级就用定积分定义
这题肯定是用夹逼准则
总共的项数是n

第二题

很明显这个题用定积分定义
在你使用定积分的定义时，看是否能取出可爱因子，也就是ｎ分之一。记住仅仅是ｎ分之一，其他的都不行。最终的积分上下限一定是0到1

第三四五六题

还是刚才那个方法，观察变化部分的最大值与主体部分相比是否是次量级的还是同量级的。
第一个是同量级的所以用定积分
第二个很明显那个lnn变化速度比n要慢，也就是次量级的，所以使用夹逼准则
第三个是n平方和sinx的平方，也就是用x和sinx进行比较，我们有一个结论就是x要大于sinx，所以使用夹逼准则
第四个大眼一看是同量级的，所以使用定积分

第七题

这道题直接把n分之一提到求和号外面
然后直接转化为定积分

第八题

按照前面的方法先判断是使用夹逼准则还是使用定积分，很明显这是使用夹逼准则。
使用假币准则之后会多出来两个式子，这时我们可以尝试用定积分来求极限，但是在使用定积分之前我们可以先对式子进行一下简化，比如左边那个式子n加1分之一就等于n分之一，右边那个式子是n加上n分之一和的分之一，它是小于n分之一的。然后再用定积分。你如果不简化的话，可能最后会算错。因为定积分中的每一个变量都是变的，提出ｎ分之一后的n加一分之一，结果是一加上n分之一和的分之一，这个是不变的，所以不能用定积分。

第九题

这道题采用级数求和法做
很明显看到他的和的通项为nxn-1
设和为Sx，它的通项其实就是x的n次方的导数
然后再用一次等比数列的求和公式

第十题

设a1，a2，am的最大值为a
使用夹逼准则
大于等于最大值的ｎ次方再开ｎ次根号
小于等于把每一个a都换成最大值的n次方再开根号
第一问很好做
第二本是把那个a变成a分之一，然后相应的n肯定要变成-n，ｂ的变化与ａ是一样的
第三问呢，一就等于一的ｎ次方，然后套用那个结论就可以了，不过最后可能要分类讨论

第十一题

我们之前学的都是和
接下来我们学习乘
直接用夹逼准则吧

第十二题

第三张图片的最下面
直接对其进行去对数
这样你就看到很长的一串了
我们之前学过定积分就是针对很长的一串
那我们现在也考虑一下定积分
再用定积分做的时候肯定要第一步提出可爱因子

第十三题

上面那张图片的蓝色部分
直接使用取对数法

第十四题

这道题使用单调有界数列必有极限这个方法做
先证明它的单调和有界性
x1小于三，很容易求助x2小于二分之三
然后你画个图很容易看出xn小于二分之三
证明单调性就是前面一项减去后面一项

第十五题

先得出关于xn和xn+1的等式
然后构造函数f(x)，对其进行求导
这样就可以判断是单调增加还是减少了
对于有界性，可以通过归纳法进行证明
x1<3,设xn<3
证明xn+1也小于3

当然你可以用第二种方法做
先令它的极限是3，这个3你是猜出来的
然后证明其极限是3
用|xn -3 | 当n区域无穷大时，趋于0
记住证的时候注意递推关系
也就是左右两边都要出现的x的n次方或者x的n-1次方以此类推x2和x1

第十六题

上张图片的最下面
用到二级结论sinx<x
所以xn+1<sinxn<xn
所以是单调递减
所以必有下界
又因为x>0,所以下界是0

至于第二问先把xn+1带入，你就会发现是sinx/x的经典类型
然后接下来用等价无穷小，(1+x)的n次方等价于nx

第十七题

采用方法2
先设极限是a
因为给了xn+1和xn的关系式
所以很容易求出a
然后证明极限是a
方法和第十五题一样

总结

数列居然也可以进行求导
前提是知道它的通项
有界性未必要严格证明
如果一个数列是单调递减的，题中又给了大于0，就有可能直接得出下界是0
具体请看题16的第一问

这三类提醒还是要背发法