计算机系统第二章——浮点数

二进制小数：底权公式
1011.101=8+2+1+0.5+0.125=11.625
窍门;小数部分写成分数，分母为2^k,k为小数位数，分子为小数部分二进制的值，即101=5/8=0.625
观察：小数点右移一位——乘2
小数点左移一位——除2
二进制小数表示范围——只能精确表示诸如x/2^k的数
其他的值只能近似表示

IEEE浮点数
数学形式：形如科学计数法

符号位s 确定了这个数是负数还是正数，数值0的符号位特殊处理
尾数M是一个二进制小数，通常规定在范围[1.0,2.0)满2就进位，所以不能等于2
阶码E表示2的幂
符号位——阶码——尾数
浮点数：
规格化值：判断条件——阶码exp不全0也不全1
阶码字段被解释为以偏置形式表示的有符号整数：
E=Exp-Bias
E是科学计数法的那个幂次，exp是保存的阶码，是无符号数，放在机器里的
Bias=2^(k-1)-1,其中k为阶码位数
减去Bias实现了对称，因为exp范围为(0到2^k-1)
减了之后E的范围就为(1-2^(k-1)到2(k-1))

尾数M是1.xxx
所以为了节省空间我们就在机器中只保存frac:xxx
最小值000…0(M=1.0)
最大值:111…1(M=2.0-&)

单精度存到机器中的形式阶码exp有8位，尾数frac有23位
Float F=15213.0=11101101101101=1.1101101101101x2^13
这就是科学计数法表示，我们要把它变成在机器中存的形式
E=13,M=1.1101101101101
exp=E+Bias=13+2^7-1=140=10001100
frac=11011011011010000000000
所以保存在机器中的形式就为0(符号位)10001100（阶码）11011011011010000000000(尾数)

非规格化值：exp为全0，表示趋近于0的数
科学计数法的E=1-Bias(为了非规格化与规格化的平滑过渡)
M=0.xxx
xxx:frac的位表示

特殊值：
exp为全1
1.frac为全0，表示无穷大，由符号位决定是正无穷还是负无穷
2.frac不为全0，用来表示一些无法表示的数

平滑过渡：从0000到0001 E都是1-Bias
而且尾数M刚好进位从0.111变为1.000

0 1111 000表示正无穷
1 1111 000表示负无穷
0 1111 001表示无法表示的数

最小的非规格化正数：存储的阶码exp为全0，尾数frac=00…001
最大的非规格化正数:存储的阶码exp为全0，尾数frac=11…111
最小的规格化正数:存储的阶码exp为00…001，尾数frac=00…000
最大的规格化正数:存储的阶码exp为11…10 尾数frac=11…111

浮点运算思路：
需要舍入，
基本思路：首先计算精确结果，然后通过舍入得到近似结果
舍入方式：
1.向上舍入
2.向下舍入
3.向0舍入
4.向偶数舍入
各种模式的优点是什么：向偶数舍入能找到最接近的匹配值；其它三种用于计算上界和下界
向偶数舍入：中间值舍入到偶数，避免了四舍五入
使用四舍六入

浮点数乘法：
符号位s1^s2
尾数M1xM2
阶码E：E1+E2
如果M>=2,M右移一位，E=E+1(因为乘2代表左移一位)
如果E超出表示范围，溢出
将M舍入到frac的位数范围
浮点数加法
1.对阶，小阶向大阶对齐(首先要使两个数阶码相同，即小数点的位置对齐，因为阶码是指的尾数要左移多少位）将原来阶码小的数的尾数右移E位，其阶码值加上E，即每次右移一位尾数要阶码加1，则该浮点数的值不变，但精度变差了
2.尾数进行加法运算
3.结果规格化并进行舍入处理(如果尾数不是规格化数，则需要进行规格化处理，并进行舍入)
4.判断溢出
(根据阶码来判断是否溢出)