如何理解离散傅里叶变换

为了方便讨论，以下用的都是逻辑频率和周期，先给出逻辑频率和周期的定义：

频率f：整个序列（数组）中有几个这个正弦波的周期
周期T：这个正弦波一个周期中的采样点数
$频率 f * 周期 T = 整个序列采样点数 N$

逻辑频率和物理频率的转换，可以直接把逻辑频率缩放到物理频率：
$物理频率 = \frac{f}{N} * 采样率（ H z ）$

离散傅里叶变换（DFT）的公式：

X (f) = \sum_{t = 0}^{N - 1} x (t) e^{i * \frac{f}{N} * 2 π * t}, t, f = 0, 1, . . ., N - 1 = \sum_{t = 0}^{N - 1} x (t) c o s (\frac{f}{N} * 2 π * t) + i * x (t) s i n (\frac{f}{N} * 2 π * t)

其中x(t)为时域信号数组，X(f)为频域数组，把f=0~N-1代入X(f)，就能得到各个频率的正弦波（结果是个复数，幅值为复数的模，初相为

a r c t a n (\frac{虚 部}{实 部})

）
各正弦波的频率

f = 0, 1, 2, 3, . . ., N - 1

周期

T = \frac{N}{f} = \infty, N, \frac{N}{2}, \frac{N}{3}, . . ., \frac{N}{N - 1}

例如下图蓝色曲线频率为3，幅值为2；红色曲线频率为16，幅值为1。把它们相加就得到了绿色曲线。对绿色曲线采样，做DFT后得到频域为图的下半部分（x轴为频率，y轴为幅值）

如何理解离散傅里叶变换

（因为整个时域序列相加了， $\frac{正频率幅值 + 负频率幅值}{序列长度 N}$ 才是原来的正弦波幅值，所以IDFT公式前面要乘1/N）

由DFT的公式可知，X(1)~X(N/2-1)和X(N-1)~X(N/2+1)是共轭复数。N/2+1~N-1又叫负频率，因为DFT得到的频域函数也是周期函数，X(N/2+1)~X(N-1)和X(-N/2+1)~X(-1)的值相等。用具体例子理解负频率：有个车轮顺时针旋转，如果旋转频率增大到人眼采样频率的N/2+1~N-1，即负频率，看起来车轮就是逆时针旋转了

根据采样定理（香农定理、奈奎斯特定理），只有频率小于采样频率/2的信号能无损还原，N/2叫做奈奎斯特频率。我们能用到的实际上只有直流量和正频率（f=0~N/2-1）