散度的理解

散度的理解即推导

最近在看GCN，对拉普拉斯算子有很大的疑问，里面有涉及到散度这一个定义，看了很多，就来总结一下。
首先来看散度的定义（百度上直接复制的）：散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点无源。
从这里可以看出来，

散度是个标量，正负代表着是源还是汇

只这样看还是不清楚，要理解散度还要先看通量。

1. 通量
   定义为：在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量，是表示某属性量输送强度的
   物理量。
   
   当然，这是在实际生活中的例子，数学进行了抽象，B这是就是一个向量场了。

   当然还有这种向量场
   
   上图通量为零。
   通量的公式定义：
   $\Phi(A)=\int\int_\Sigma \vec A\vec n ds$Φ(A)=∫∫Σ​Ands
   $\vec A$A是向量场中的向量，而且$\vec n$n为平面的法向量，$d\vec S=\vec nds$dS=nds
   转换到三维空间中：
   设向量场 $A(x,y,z) = P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+R(x,y,z)\vec k$A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j​+R(x,y,z)k
   则称沿场中某有向曲面$\Sigma$Σ的某一侧的面积分为向量场穿过曲面$\Sigma$Σ这一侧的通量
   $A=P\vec i+Q\vec j+R\vec k----(1)$A=Pi+Qj​+Rk−−−−(1)
   $d\vec S = dydz\vec i+dzdx\vec j+dxdy\vec k----(2)$dS=dydzi+dzdxj​+dxdyk−−−−(2)（分别在yoz,zox,xoy面上的投影）
   $\Phi=\int\int_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy----(3)$Φ=∫∫Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy−−−−(3)

2. 散度
   
   在上图向量场中，当把这个圈不断地缩小，极限趋近于零。这时候得到了散度。
   即 $div A = \lim_{V\rightarrow+0}\frac{\Phi(A)}{V}$divA=limV→+0​VΦ(A)​
   这个是散度的定义，注意里面的V为标量，其实应该写S的，毕竟是面积，但是其实是体积，比如一个粉笔盒，看起来里面是空的，是一个表面，其实构成了一个体积了；
   当V趋向于零时，即：
   $dV=dxdydz$dV=dxdydz
   $d\Phi=dPdydz+dQdzdx+dRdxdy$dΦ=dPdydz+dQdzdx+dRdxdy
   两式相除得：
   $div A = \frac{\delta P}{\delta x}+\frac{\delta Q}{\delta y}+\frac{\delta R}{\delta z}$divA=δxδP​+δyδQ​+δzδR​
   对于一个三维图像的梯度构成的向量场：
   $div f(x,y,z) = \frac{\delta ^2f}{\delta x^2}+\frac{\delta ^2f}{\delta y^2}+\frac{\delta ^2f}{\delta z^2}$divf(x,y,z)=δx2δ2f​+δy2δ2f​+δz2δ2f​

这时候在回过头来看散度的定义，就可以利用散度来计算该点对它周围产生的影响。而GCN中的拉普拉斯算子就是离散形式下的散度。