图像处理的几种滤波

均值滤波

均值滤波，是图像处理中最常用的手段，从频率域观点来看均值滤波是一种低通滤波器，高频信号将会去掉，因此可以帮助消除图像尖锐噪声，实现图像平滑，模糊等功能。理想的均值滤波是用每个像素和它周围像素计算出来的平均值替换图像中每个像素。采样Kernel数据通常是3X3的矩阵，如下表示：

从左到右从上到下计算图像中的每个像素，最终得到处理后的图像。均值滤波可以加上两个参数，即迭代次数，Kernel数据大小。一个相同的Kernel，但是多次迭代就会效果越来越好。同样，迭代次数相同，Kernel矩阵越大，均值滤波的效果就越明显。

中值滤波

中值滤波也是消除图像噪声最常见的手段之一，特别是消除椒盐噪声，中值滤波的效果要比均值滤波更好。中值滤波是跟均值滤波唯一不同是，不是用均值来替换中心每个像素，而是将周围像素和中心像素排序以后，取中值，一个3X3大小的中值滤波如下：

 

最大最小值滤波

最大最小值滤波是一种比较保守的图像处理手段，与中值滤波类似，首先要排序周围像素和中心像素值，然后将中心像素值与最小和最大像素值比较，如果比最小值小，则替换中心像素为最小值，如果中心像素比最大值大，则替换中心像素为最大值。一个Kernel矩阵为3X3的最大最小值滤波如下：

 

双边滤波

一种同时考虑了像素空间差异与强度差异的滤波器，因此具有保持图像边缘的特性。

先看看高斯滤波器

其中W是权重，i和j是像素索引，K是归一化常量。公式中可以看出，权重只和像素之间的空间距离有关系，无论图像的内容是什么，都有相同的滤波效果。

再来看看双边滤波器，它只是在原有高斯函数的基础上加了一项，如下

其中 I 是像素的强度值，所以在强度差距大的地方（边缘），权重会减小，滤波效应也就变小。总体而言，在像素强度变换不大的区域，双边滤波有类似于高斯滤波的效果，而在图像边缘等强度梯度较大的地方，可以保持梯度。

引导滤波

与双边滤波最大的相似之处，就是同样具有保持边缘特性。在引导滤波的定义中，用到了局部线性模型，至于该模型，可以暂时用下图简单的理解

该模型认为，某函数上一点与其邻近部分的点成线性关系，一个复杂的函数就可以用很多局部的线性函数来表示，当需要求该函数上某一点的值时，只需计算所有包含该点的线性函数的值并做平均即可。这种模型，在表示非解析函数上，非常有用。

同理，我们可以认为图像是一个二维函数，而且没法写出解析表达式，因此我们假设该函数的输出与输入在一个二维窗口内满足线性关系，如下

其中，q是输出像素的值，I是输入图像的值，i和k是像素索引，a和b是当窗口中心位于k时该线性函数的系数。其实，输入图像不一定是待滤波的图像本身，也可以是其他图像即引导图像，这也是为何称为引导滤波的原因。对上式两边取梯度，可以得到

即当输入图像I有梯度时，输出q也有类似的梯度，现在可以解释为什么引导滤波有边缘保持特性了。

下一步是求出线性函数的系数，也就是线性回归，即希望拟合函数的输出值与真实值p之间的差距最小，也就是让下式最小

这里p只能是待滤波图像，并不像I那样可以是其他图像。同时，a之前的系数（以后都写为e）用于防止求得的a过大，也是调节滤波器滤波效果的重要参数。通过最小二乘法，我们可以得到

其中，是I在窗口w_k中的平均值，是I在窗口w_k中的方差，是窗口w_k中像素的数量，是待滤波图像p在窗口w_k中的均值。

在计算每个窗口的线性系数时，我们可以发现一个像素会被多个窗口包含，也就是说，每个像素都由多个线性函数所描述。因此，如之前所说，要具体求某一点的输出值时，只需将所有包含该点的线性函数值平均即可，如下

这里，w_k是所有包含像素i的窗口，k是其中心位置。

当把引导滤波用作边缘保持滤波器时，往往有 I = p ，如果e=0，显然a=1, b=0是E(a,b)为最小值的解，从上式可以看出，这时的滤波器没有任何作用，将输入原封不动的输出。如果e>0，在像素强度变化小的区域（或单色区域），有a近似于（或等于）0，而b近似于（或等于），即做了一个加权均值滤波；而在变化大的区域，a近似于1，b近似于0，对图像的滤波效果很弱，有助于保持边缘。而e的作用就是界定什么是变化大，什么是变化小。在窗口大小不变的情况下，随着e的增大，滤波效果越明显。

在滤波效果上，引导滤波和双边滤波差不多，在一些细节上，引导滤波较好。引导滤波最大的优势在于，可以写出时间复杂度与窗口大小无关的算法，因此在使用大窗口处理图片时，其效率更高。