卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

原理

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式^[2] ：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式^[3] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

摘自百度，为什么摘百度呢？

因为百度比我写得好。

关于卡特兰数的一些应用

列子

1、矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，有几种括号化的方案？

2、一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

3、n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？

4、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？

5、在圆上选择2n个点，将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交，一共有多少种方法？(下图供参考)

卡特兰数专题

6、n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数为h(n).例如， 4×4方格地图中的路径有：

7、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是Cn。如下图所示：

8、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

9、甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。

10、2n个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

关于卡特兰数的一些题：

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都是对卡特兰数的一些应用题，有一些细节的变换，（实际上可以用一份代码略改全过）。。

以其中对多边形对角线分割三角形的代码为例：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
long long a[55];
int main()
{
int n;
cin >> n;
a[2] = 1;
for(int i = 3;i <= n;i++)
{
for(int j = 2;j < i;j++)
{
a[i] += a[j] * a[i - j + 1];
}
}
cout << a[n];
return 0;
}

就是经典的卡特兰数计算方式。

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一些实现方式

C++实现

void catalan() //求卡特兰数
{
int i, j, len, carry, temp;
a[1][0] = b[1] = 1;
len = 1;
for(i = 2; i <= 100; i++)
{
for(j = 0; j < len; j++) //乘法
a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
carry = 0;
for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
{
temp = a[i][j] + carry;
a[i][j] = temp % 10;
carry = temp / 10;
}
while(carry) //进位处理
{
a[i][len++] = carry % 10;
carry /= 10;
}
carry = 0;
for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
{
temp = carry*10 + a[i][j];
a[i][j] = temp/(i+1);
carry = temp%(i+1);
}
while(!a[i][len-1]) //高位零处理
len --;
b[i] = len;
}

}

嘛这几道题代码都比较简单就不列了，实际上思想是一致的，但推倒过程可能不一，殊途同归吧。

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