高等代数–线性方程组

声明： 本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第三章内容的总结，复习

消元法

明确基础名词的含义： 未知量，方程个数，系数，常数项，方程的解，解集合，同解，一般解，自由未知量，系数矩阵，增广矩阵，行向量，列向量，n维单位向量，导出组。

消元法实际上是反复的对方程组进行如下的三种变换：
1.用一非零的数乘某一方程;
2把一个方程的倍数加到另一个方程；
3.互换两个方程的位置；

定义1： 变换1,2,3称为线性方程组的初等变换。
初等变换总是把方程组变成同解的方程组。
我们做初等变换的目的总是为了得到一个阶梯型方程组。

证明： 该定理的证明是根据初等变换将方程组化为阶梯型方程组，可以得到方程的个数必然小于未知量的个数，所以必有非零解。
注意： 这个定理虽然看起来很浅显，但是本章后面的绝大多数定理都是根据此定理得来的。

n维向量空间

a_i 称为向量(1)的分量。

线性相关性

重要推论：
1.如果一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关。
2.如果一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。
3.如果一个向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量所得到的n+1维向量组也线性无关。(这个推论可以将n维向量展开可能更加的直观)

证明：该定理的证明比较复杂，需要把握2点，其一是线性表出的定义(定义9)，其二是线性相关的定义(定义11^’)，熟练这两个定义，将方程展开，再根据定理一即可证得。(具体证明请参照P123)

推论1： 如果向量组α₁,α₂,…,α_r,可以经向量组阝₁,阝₂,…,阝_s线性表出,且α₁,α₂,…,α_r,线性无关,那么r≤s.
推论2: 任意n+1个n维向量必线性相关.（结合单位向量来看）
推论3: 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量.(这个推论后面运用极其广泛，务必熟悉推论)

定义13： 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组。如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关。

重要概念：
1.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身。
2.任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
3.一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

定理3： 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

定义14： 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

重要概念：
1.向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。
2.等价的向量组必有相同的秩。

矩阵的秩

定义15： 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。

定理4： 矩阵的行秩与列秩相等。

线性方程组有解判别定理

线性方程组解的结构

对于齐次线性方程组来说，有如下两个重要性质：
1.两个解的和还是方程组的解。
2.一个解的倍数还是方程组的解。

定义17： 齐次线性方程组(1)的一组解η₁,η₂,…,η_t称为(1)的一个基础解系,如果:
1)(1)的任一个解都能表成η₁,η₂,…,η_t 的线性组合;
2)η₁,η₂,…,η_t 线性无关;

定理8: 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解的个数等于n-r,这里r表示系数矩阵的秩(以下将看到,n-r也就是自由未知量的个数)。

注意： 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法；证明该定理要明确两点；其一，齐次线性方程组(1)的任意两个解,只要自由未知量的值一样,这两个解就完全一样.其二，任意的线性方程组的解都可由假定的基础解系线性表出。

性质： 任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系。

对于非齐次线性方程组（带有常数项的方程组来说）来说，有如下两个重要性质：
1.线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解。
2.线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。

二元高次方程组

详细内容参照P148-P153

参考书籍：《高等代数》第三版 王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社