《数学基础》-1.线性代数-1.5.矩阵的奇异值
1.5.矩阵的奇异值
1.5.1.矩阵的奇异值分解（svd分解）
证明：
（1）为m行n列，秩为r的矩阵
奇异值定义：
这里有r个λ大于0，因为为对称阵，所以
可以对角化，即
为对角阵，又因为R(
)=R(A) ，且由相似定理得
与
相似，则他们的特征值相同，所以有r个λ大于0
奇异值分解（svd分解）：
证明：
则
所以：,（1）
（2）
由（1）得：
或者左右两边同时乘以Σ的逆得
由（2）得：
上式称为矩阵A的奇异值分解
例题：
解：
1.5.2.svd分解的应用
1.图像压缩
图片可以看做一个矩阵，利用奇异值分解，可以写成
其中：
将A展开得：
其中
原始图像需要保存m×n个数，但是经过分解，由于后面的σ越来越小，所以可以只取前k个项，则数据量为(m+n+1)k<<m*n因而达到了压缩图像的目的
采用这种方式存储图像，损失函数为：
k越大，损失越小，更能充分接近真实的图像。
下面可以分别对k取不同值，对比图像差别：
分别保留二十分之一、十分之一、五分之一、三分之一、二分之一、原图对比
2.矩阵乘法加速