【矩阵论笔记】方阵函数
定义
方阵函数是普通函数的推广，普通函数自变量是实数或复数，把自变量推广到方阵就是方阵函数。
可以看到方阵函数是通过Taylor展开来定义的，所以要求方阵函数，首先要对函数进行泰勒展开。
例子
按定义的话，要先求泰勒展开，然后把方阵带到幂级数里去。
含参定义
含参和不含参的共同点都是函数要收敛。
例子
得到的新矩阵是一个含参数的矩阵。
计算问题
直接计算矩阵多项式比较困难，
1、可以做相似化简化成比较简单的矩阵。
2、降低方阵多项式的阶，通过最小多项式。
方阵函数也是一样
1、把矩阵A相似化简
2、降低幂的阶
定理一
这个定理在用的时候通常把B取成A的Jordan标准型。
定理2
这两个定理是用来解决用Jordan标准型计算方阵函数的方法。
例子
1、先把A化成对角块
上三角对角元就是特征值，所以可以直接写出特征矩阵。
对角阵总结
1、先把方阵A相似化简。
2、利用定理一算中间简单矩阵的函数。因为对角阵可以直接计算函数值。
定理三：非对角阵化Joadan标准型
例子
因为A是个Jordan块，所以可以直接计算。